Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng R

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R là một trong những công thức quan trọng giúp các em lớp 11, lớp 12 cần ghi nhớ để vận dụng tính toán nhanh nhất các bài toán tìm sự đồng biến, nghịch biến và cho ra kết quả chính xác.

Trong kì thi THPT Quốc gia môn Toán thì số lượng công thức cần ghi nhớ là không hề nhỏ. Đối với các bài thi trắc nghiệm, điều cần thiết là các em học sinh cần nắm kiến thức rộng và có phương pháp giải nhanh hiệu quả để có thể ghi điểm nhiều nhất. Bên cạnh tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R các bạn xem thêm bộ đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán, phân dạng câu hỏi và bài tập trong đề thi THPT Quốc gia môn Toán.

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

I. Phương pháp giải tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên
II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R
II. Bài tập tự luyện tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

I. Phương pháp giải tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên $\mathbb{R}$

- Định lí: Cho hàm số có đạo hàm trên khoảng

+ Hàm số đồng biến trên khoảng $\left( a,b \right)$ khi và chỉ khi với mọi giá trị x thuộc khoảng . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

+ Hàm số $y=f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( a,b \right)$ khi và chỉ khi với mọi giá trị x thuộc khoảng . Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm.

- Để giải bài toán này trước tiên chúng ta cần biết rằng điều kiện để hàm số y=f(x) đồng biến trên R thì điều kiện trước tiên hàm số phải xác định trên $\mathbb{R}$ .

+ Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục và có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Khi đó hàm số y=f(x) đơn điệu trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi thỏa mãn hai điều kiện sau:

Hàm số y=f(x) xác định trên $\mathbb{R}$ .
Hàm số y=f(x) có đạo hàm không đổi dấu trên $\mathbb{R}$ .

+ Đối với hàm số đa thức bậc nhất:

Hàm số y = ax + b đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi a > 0.
Hàm số y = ax + b $(a \ne 0)$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi a < 0.

- Đây là dạng bài toán thường gặp đối với hàm số đa thức bậc 3. Nên ta sẽ áp dụng như sau:

Xét hàm số $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\Rightarrow y'=3a{{x}^{2}}+2bx+c$

TH1: $a=0$ (nếu có tham số)

TH2: $a\ne 0$

+ Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.$

+ Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.$

Chú ý: Hàm số đa thức bậc chẵn không thể đơn điệu trên R được.

- Các bước tìm điều kiện của m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Bước 1. Tìm tập xác định $\mathbb{R}$ .

Bước 2. Tính đạo hàm y’ = f’(x).

Bước 3. Biện luận giá trị m theo bảng quy tắc.

Bước 4. Kết luận giá trị m thỏa mãn.

II. Ví dụ minh họa tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Ví dụ 1: Cho hàm số $y=-\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}+\left( 3m-2 \right)x+1$ . Tìm tất cả giá trị của m để hàm số nghịch biến trên

$A. \left( -2,-1 \right)$	$B. \left[ -2,-1 \right]$
$C.\left( -\infty ,-2 \right)\cup \left( -1,+\infty \right)$	$D. \left( -\infty ,-2 \right]\cup \left[ -1,+\infty \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $y'=-{{x}^{2}}+2mx+3m-2$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta \le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} -1<0 \\ 4{{m}^{2}}-4\left( 3m-2 \right)\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow {{m}^{2}}-3m+2\le 0 \right.\Leftrightarrow m\in \left[ -2,-1 \right]$

Đáp án B

Ví dụ 2: Cho hàm số . Tìm m để hàm số nghịch biến trên .

$A. -3\le m\le 1$	$B. 0\le m\le 1$
$C.\left( 0,1 \right]$	$D. \left[ 0,1 \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

TH1: . Hàm số nghịch biến trên

TH2: . Hàm số nghịch biến trên khi:

$\left\{ \begin{matrix} a<0 \\ \Delta '\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<1 \\ {{\left( m-1 \right)}^{2}}+\left( m-1 \right)\le 0 \\ \end{matrix}\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} m<1 \\ {{m}^{2}}-m\le 0 \\ \end{matrix} \right. \right.\Leftrightarrow m\in \left[ 0,1 \right)$

Đáp án D

Ví dụ 3: Tìm m để hàm số đồng biến trên .

$A. -4\le m\le -\frac{1}{4}$	$B. -4< m< -\frac{1}{4}$
$C.\left[ \begin{matrix} m<-4 \\ m>-\frac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$	$D. \left[ \begin{matrix} m\le -4 \\ m\ge -\dfrac{1}{4} \\ \end{matrix} \right.$

Hướng dẫn giải

$y'=3{{x}^{2}}+4\left( m+1 \right)x-3m$

Để hàm số đồng biến trên thì:

$\left\{ \begin{matrix} a>0 \\ \Delta '\le 0 \\ \end{matrix} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{matrix} 1>0 \\ 4{{\left( m+1 \right)}^{2}}+9m \\ \end{matrix}\Leftrightarrow m\in \left[ -4,-\frac{1}{4} \right] \right.$

Đáp án A

Ví dụ 4: Cho hàm số . Tìm tất cả giá trị của m sao cho hàm số luôn nghịch biến.

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

Tính đạo hàm:

TH1: Với m = 1 ta có

Vậy m = 1 không thỏa mãn điều kiện đề bài.

TH2: Với ta có:

Hàm số luôn nghịch biến

Ví dụ 5: Tìm m để hàm số $y=\frac{1}{3}\left( m+3 \right){{x}^{3}}-2{{x}^{2}}+mx$ nghịch biến trên $\mathbb{R}$

Hướng dẫn giải

Tập xác định: $D=\mathbb{R}$

Đạo hàm: $y'=\left( m+3 \right){{x}^{2}}-4x+m$

TH1: Với m = -3 $\Rightarrow y'=-4x-3\Rightarrow m=-3$ (thỏa mãn)

Vậy m = -3 hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$

TH2: Với $m\ne -3$

Hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$ khi $y'\le 0,\forall x$

$\begin{align} & \Rightarrow \left( m+3 \right){{x}^{2}}-4x+m\le 0,\forall x\Rightarrow \left\{ \begin{matrix} m+3<0 \\ -{{m}^{2}}-3m+4\le 0 \\ \end{matrix} \right. \\ & \Leftrightarrow m\le -4 \\ \end{align}$

Ví dụ 6:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = \frac{1}{3}\left( {{m^2} - 2m} \right){x^3} + m{x^2} + 3x$ đồng biến trên $\mathbb{R}$

A. m < 0	B. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0} \\ {m \geqslant 3} \end{array}} \right.$
C. $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \leqslant 0} \\ {m \geqslant 3} \end{array}} \right.$	D. 1 < m ≤ 3

Gợi ý đáp án

Ta có: y’ = (m² – 2m).x² + 2mx + 3

Trường hợp 1: m² – 2m = 0 => m = 0 hoặc m = 2

Với m = 0, y’ = 3

=> y’ > 0 với mọi x

Do đó m = 0 thỏa mãn hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

Với m = 2, y’ = 4x + 3

=> m = 0 không thỏa mãn hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$

Trường hợp 2: m² – 2m ≠ 0 => m ≠ 0 hoặc m ≠ 2

Hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi

$\begin{matrix} \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 2m > 0} \\ {\Delta ' = {m^2} - 3\left( {{m^2} - 2m} \right) \leqslant 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{m^2} - 2m > 0} \\ { - 2{m^2} + 6m \leqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m > 2} \\ {m < 0} \end{array}} \right.} \\ {\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \geqslant 3} \\ {m \leqslant 0} \end{array}} \right.} \end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m \geqslant 3} \\ {m < 0} \end{array}} \right. \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy $\left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {m < 0} \\ {m \geqslant 3} \end{array}} \right.$ thỏa mãn yêu cầu bài toán đề ra.

Chọn đáp án B

Ví dụ 2: Tập tất cả các giá trị của tham số m để hàm số $y = {x^3} - 3m{x^2} + 3x + 1$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ là:

A. m ∈ [-1; 1]	B. m ∈ (-∞; -1] ∪ [1; +∞)
C. m ∈ (-∞; -1) ∪ (1; +∞)	D. m ∈ (-1; 1)

Gợi ý đáp án

Ta có: y’ = 3x² – 6mx + 3

Hàm số đồng biến trên khi và chỉ khi

$\begin{matrix} y' \geqslant 0,\forall x \in \mathbb{R} \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {3 > 0} \\ {{{\left( { - 3m} \right)}^2} - 9 \leqslant 0} \end{array}} \right. \Leftrightarrow 9{m^2} - 9 \leqslant 0 \Leftrightarrow m \in \left[ { - 1;1} \right] \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy m ∈ [-1; 1] thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn đáp án A

II. Bài tập tự luyện tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R

Câu 1: Hàm số nào đồng biến trên ?

$A. f\left( x \right)={{x}^{4}}-4{{x}^{2}}+4$	$B. f\left( x \right)={{x}^{3}}+3{{x}^{2}}+10x+2$
$C.f\left( x \right)=-\frac{4}{5}{{x}^{5}}+\frac{4}{3}{{x}^{3}}-x$	$D. f\left( x \right)={{x}^{3}}+10x-{{\cos }^{2}}x$

Câu 2: Cho hàm số . Hỏi hàm số đồng biến trên khi nào?

$A. \left[ \begin{matrix} a=b=c=0 \\ a<0,{{b}^{2}}-3ac<0 \\ \end{matrix} \right.$	$B. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a<0,{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{matrix} \right.$
$C. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a>0,{{b}^{2}}-3ac\le 0 \\ \end{matrix} \right.$	$D. \left[ \begin{matrix} a=b=0,c>0 \\ a>0,{{b}^{2}}-3ac\ge 0 \\ \end{matrix} \right.$

Câu 3: Cho các hàm số sau:

$(1): y=-{{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-3x+1$

$(2): y=-\sqrt{{{x}^{3}}+2}$

$(3): y=-2x+\sin x$

$(4): y=\frac{2-x}{x-1}$

Hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb{R}$ ?

$A. \left( 1 \right),\left( 2 \right)$	$B. \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right)$
$C. \left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 4 \right)$	$D. \left( 2 \right),\left( 3 \right)$

Câu 4: Tìm tất cả các giá trị của tham số m sao cho hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$

$A. -3\le m\le 1$	$B. m\le 1$
$C.-3< m< 1$	$D. m\ge -3$

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị m để hàm số luôn đồng biến trên

$A. -1\le m\le 1$	$B. m>\frac{\sqrt{3}}{2}$
$C.m<\frac{1}{2}$	$D. \left[ \begin{matrix} m\ge 1 \\ m\le -1 \\ \end{matrix} \right.$

Câu 6: Cho hàm số $y=\frac{1}{3}{{x}^{3}}+m{{x}^{2}}-mx-m$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của m để hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$

$A. m=0$	$B. m=-1$
$C.m=-5$	$D. m=-6$

Câu 7: Cho hàm số y = f(x) = x³ - 6x² + 9x - 1. Phương trình f(x) = -13 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0	B. 3
C. 2	D. 1

Câu 8: Xác định giá trị của m để hàm số y = $\dfrac{1}{2}$ x³ - mx² + (m + 2)x - (3m - 1) đồng biến trên $\mathbb{R}$

A. m < -1	B. m > 2
C. -1 ≤ m ≤ 2	D.-1 < m < 2

Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho hàm số y = $\dfrac{1}{3}$ x³ - mx² +(2m - 3) - m + 2 luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$

A. -3 ≤ m ≤ 1	B. m ≤ 2
C. m ≤ -3; m ≥ 1	D. -3 < m < 1

Câu 10: Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng y = x³ - 3mx² đồng biến trên $\mathbb{R}$

A. m ≥ 0	B. m ≤ 0
C. m < 0	D. m =0

Câu 11: Cho hàm số: y = $\dfrac{-1}{3}$ x³ + (m +1)x² - (m + 1) + 2. Tìm các giá trị của tham số m sao cho hàm số đồng biến trên tập xác định của nó.

A. m > 4	B. -2 ≤ m ≤ -1
C. m < 2	D. m < 4

Câu 12: Cho hàm số: y = $\dfrac{-1}{3}$ x³ + 2x² - mx + 2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên tập xác định của nó.

A. m ≥ 4	B. m ≤ 4
C. m > 4	D. m < 4

Câu 13: Tìm tham số m để hàm số $y=\frac{{x - m}}{{x + 1}}$ đồng biến trên tập xác định của chúng:

A. m ≥ -1	B. m ≤ -1
C. m ≤ 1	D. m ≥ 2

Câu 14: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số:

a. y = (m + 2). $\frac{x^3}{3}$ - ( m + 2)x² - (3m - 1)x + m² đồng biến trên $\mathbb{R}$ .

b. y = (m - 1)x³ - 3(m - 1)x² + 3(2m - 3)x + m nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Tìm m để hàm số đồng biến trên khoảng R

Tìm m để hàm số đồng biến, nghịch biến trên R