Phương trình vô tỉ lớp 9: Cách giải và bài tập

Phương trình vô tỉ là một trong những bài toán thường gặp trong các kỳ thi bậc THCS đặc biệt là các kỳ thi học sinh giỏi và thi vào lớp 10 các trường THPT chuyên năng khiếu.

Cách giải phương tình vô tỉ là tài liệu vô cùng hữu ích, tổng hợp toàn bộ kiến thức về các phương pháp giải. Mỗi cách giải đều kèm theo các bài tập minh họa có đáp án giải chi tiết. Ở cuối tài liệu có các dạng bài tập tổng hợp với nhiều mức độ khác nhau. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập về phương trình vô tỉ. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Phương trình vô tỉ lớp 9: Cách giải và bài tập

A. Phương trình vô tỉ là gì?
B. Cách giải phương trình vô tỉ

A. Phương trình vô tỉ là gì?

Phương trình vô tỉ ở lớp 9 là những phương trình có dấu căn, tuy nhiên, những phương trình này thường chứa dấu căn bậc hai hoặc căn bậc ba.

B. Cách giải phương trình vô tỉ

I. Phương pháp 1: Nâng lũy thừa

A. Lí thuyết

$1/ \sqrt{f(x)}=\sqrt{g(x)} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x)=g(x)\end{array}\right.$

$2/ \sqrt{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x) \geq 0 \\ f(x)=g^{2}(x)\end{array}\right.$

$3/ \sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}=\sqrt{h(x)} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x)+g(x)+2 \sqrt{f(x) \cdot g(x)}=h(x)\end{array}\right.$

$4 / \sqrt[2 n]{f(x)}=\sqrt[2 n]{g(x)} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}f(x) \geq 0 \\ g(x) \geq 0 \\ f(x)=g(x)\end{array} \quad\left(n \in N^{*}\right)\right.$

$5/ \sqrt[2 n]{f(x)}=g(x) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}g(x) \geq 0 \\ f(x)=g^{2 n}(x)\end{array} \quad\left(n \in N^{*}\right)\right.$

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: $\sqrt{x+1}=x-1 (1)$

$HD: (1) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x-1 \geq 0 \\ x+1=(x-1)^{2}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 1 \\ x^{2}-3 x=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq 1 \\ x=3\end{array} \Leftrightarrow x=3\right.\right.\right.$

Bài 2: Giải phương trình: $x-\sqrt{2 x+3}=0$

Bài 3: Giải phương trình: $\sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2 x}$

$HD: Ta có: \sqrt{x+4}-\sqrt{1-x}=\sqrt{1-2 x} \Leftrightarrow \sqrt{x+4}=\sqrt{1-2 x}+\sqrt{1-x}$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}1-2 x \geq 0 \\ 1-x \geq 0 \\ x+4=1-2 x+1-x+2 \sqrt{(1-2 x)(1-x)}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \leq \frac{1}{2} \\ 2 x+1=\sqrt{2 x^{2}-3 x+1}\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \leq \frac{1}{2} \\ 2 x+1 \geq 0 \\ (2 x+1)^{2}=2 x^{2}-3 x+1\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{-1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} \\ x^{2}+7 x=0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\frac{-1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2} \\ {\left[\begin{array}{l}x=0 \\ x=-7\end{array} \Leftrightarrow x=0\right.}\end{array}\right.\right.\right.\right.$

Bài 4: Giải phương trình: $\sqrt{x-2}-3 \sqrt{x^{2}-4}=0$

HD: ĐK: $\left\{\begin{array}{l}x-2 \geq 0 \\ x^{2}-4 \geq 0\end{array} \Leftrightarrow x \geq 2(1)\right.$

$\Leftrightarrow \sqrt{x-2}-3 \sqrt{(x-2)(x+2)}=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \sqrt { x - 2 } = 0 } \\ { ( 1 - 3 \sqrt { x + 2 } ) = 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=2 \\ x=\frac{-17}{9} \end{array}\right.\right.$

Kết hợp (1) và (2) ta được: $\mathrm{x}=2$

Bài 5. Giải phương trình : $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x \sqrt{\sqrt{3}+x}$

HD:Đk: $0 \leq x \leq \sqrt{3}$ khi đó pt đã cho tương đương:

$x^{3}+\sqrt{3} x^{2}+x-\sqrt{3}=0 \Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{3}=\frac{10}{3 \sqrt{3}} \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt[3]{10}-1}{\sqrt{3}}$
Bài 6. Giải phương trình sau : $2 \sqrt{x+3}=9 x^{2}-x-4$

HD:Đk: $x \geq-3$ phương trình tương đương :

$(1+\sqrt{3+x})^{2}=9 x^{2} \Leftrightarrow\left[\begin{array} { l } { \sqrt { x + 3 } + 1 = 3 x } \\ { \sqrt { x + 3 } + 1 = - 3 x } \end{array} \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x=1 \\ x=\frac{-5-\sqrt{97}}{18} \end{array}\right.\right.$

Bài 7. Giải phương trình sau : $2+3 \sqrt[3]{9 x^{2}(x+2)}=2 x+3 \sqrt[3]{3 x(x+2)^{2}}$

HD: $\mathrm{pt} \Leftrightarrow(\sqrt[3]{x+2}-\sqrt[3]{3 x})^{3}=0 \Leftrightarrow x=1$

Bài 8. Giải và biện luận phương trình: $\sqrt{\mathrm{x}^{2}-4}=\mathrm{x}-\mathrm{m}$

...........

II. Phương pháp 2: Đưa về phương trình tuyệt đối

A,. Kiến thức

Sử dụng hằng đẳng thức sau

$\sqrt{f^{2}(x)}=g(x) \Leftrightarrow|f(x)|=g(x) \Leftrightarrow \begin{cases}f(x)=g(x) & (f(x) \geq 0) \\ f(x)=-g(x) & (f(x)<0)\end{cases}$

B. Bài tập

Bài 1: Giải phương trình: $\sqrt{\mathrm{x}^{2}-4 \mathrm{x}+4}+\mathrm{x}=8(1)$

$\underline{\mathrm{HD}}:(1) \Leftrightarrow \sqrt{(\mathrm{x}-2)^{2}}=8-\mathrm{x} \quad \Leftrightarrow|\mathrm{x}-2|=8-\mathrm{x}$

- Nếu x<2:(1) $\Rightarrow$ 2-x=8-x (vô nghiệm)

- Nếu $\mathrm{x} \geq 2:(1) \Rightarrow \mathrm{x}-2=8-\mathrm{x} \Leftrightarrow \mathrm{x}=5 (thoả mãn) Vậy: \mathrm{x}=5$

Bài 2: Giải phương trình

$\sqrt{x+2+2 \sqrt{x+1}}+\sqrt{x+10-6 \sqrt{x+1}}=2 \sqrt{x+2-2 \sqrt{x+1}} (2)$

$\underline{H D}:(2) \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x+1 \geq 0 \\ \sqrt{x+1+2 \sqrt{x+1}+1}+\sqrt{x+1-2.3 \sqrt{x+1}+9}=2 \sqrt{x+1-2 \sqrt{x+1}+1}\end{array}\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \geq-1 \\ \sqrt{x+1}+1+|\sqrt{x+1}-3|=2|\sqrt{x+1}-1|\end{array}\right.$

Đặt $\mathrm{y}=\sqrt{\mathrm{x}+1}(\mathrm{y} \geq 0) \Rightarrow$ phương trình \left({ }^{*}\right) đã cho trở thành: $\mathrm{y}+1+|\mathrm{y}-3|=2|\mathrm{y}-1|$

- Nếu $0 \leq \mathrm{y}<1: \mathrm{y}+1+3-\mathrm{y}=2-2 \mathrm{y} \Leftrightarrow \mathrm{y}=-1 (loại)$

- Nếu $1 \leq \mathrm{y} \leq 3: \mathrm{y}+1+3-\mathrm{y}=2 \mathrm{y}-2 \Leftrightarrow \mathrm{y}=3$

- Nếu $\mathrm{y}>3: \mathrm{y}+1+\mathrm{y}-3=2 \mathrm{y}-2$ (vô nghiệm)

Với $\mathrm{y}=3 \Leftrightarrow \mathrm{x}+1=9 \Leftrightarrow \mathrm{x}=8$ (thoả mãn)

Vậy: $\mathrm{x}=8$

Bài 3: Giải phương trình: $\sqrt{x-2+\sqrt{2 x-5}}+\sqrt{x+2+3 \sqrt{2 x-5}}=7 \sqrt{2}$

$\mathrm{HD}: Ð \mathrm{~K}: x \geq \frac{5}{2} \mathrm{PT} \Leftrightarrow \sqrt{2 x-5+2 \sqrt{2 x-5}+1}+\sqrt{2 x-5+6 \sqrt{2 x-5}+9}=14$

$\Leftrightarrow|\sqrt{2 x-5}+1|+|\sqrt{2 x-5}+3|=14 \Leftrightarrow \sqrt{2 x-5}=5 \Leftrightarrow x=15 (Thoả mãn)$ Vậy: x=15

Bài 4: Giải phương trình: $\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}}+\sqrt{x-2 \sqrt{x-1}}=2$

HD:ĐK: $x \geq 1$

$\mathrm{Pt} \Leftrightarrow \sqrt{x-1+2 \sqrt{x-1}+1}+\sqrt{x-1-2 \sqrt{x-1}+1}=2 \Leftrightarrow \sqrt{x-1}+1+|\sqrt{x-1}-1|=2$

Nếu $x>2 pt \Leftrightarrow \sqrt{x-1}+1+\sqrt{x-1}-1=2 \Leftrightarrow x=2 (Loại)$

Nếu $x \leq 2 \mathrm{pt} \Leftrightarrow \sqrt{x-1}+1+1-\sqrt{x-1}=2 \Leftrightarrow 0 x=0 (Luôn đúng với \forall x)$

Vậy tập nghiệm của phương trình là: $S=\{x \in R \mid 1 \leq x \leq 2\}$

.....................

III. Phương pháp 3: Đặt ẩn phụ

1. Phương pháp đặt ẩn phụ thông thường

Đối với nhiều phương trình vô vô tỉ, để giải chúng ta có thể đặt t=f(x) và chú ý điều kiện của t nếu phương trình ban đầu trở thành phương trình chứa một biến t quan trọng hơn ta có thể giải được phương trình đó theo t thì việc đặt phụ xem như "hoàn toàn".

Bài 1. Giải phương trình: $\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}+\sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=2$

HD: Điều kiện: $x \geq 1$

Nhận xét. $\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}} \cdot \sqrt{x+\sqrt{x^{2}-1}}=1$

Đặt $t=\sqrt{x-\sqrt{x^{2}-1}}$ thì phương trình có dạng: $t+\frac{1}{t}=2 \Leftrightarrow t=1$ . Thay vào tìm được x=1 $x=1-\sqrt{2} và x=2+\sqrt{3}$

Bài 2. Giải phương trình: $2 x^{2}-6 x-1=\sqrt{4 x+5}$

HD: Điều kiện: $x \geq-\frac{4}{5}$

Đăt $t=\sqrt{4 x+5}(t \geq 0)$ thì $x=\frac{t^{2}-5}{4}$ . Thay vào ta có phương trình sau:

$\begin{aligned} 2 \cdot \frac{t^{4}-10 t^{2}+25}{16} &-\frac{6}{4}\left(t^{2}-5\right)-1=t \Leftrightarrow t^{4}-22 t^{2}-8 t+27=0 \\ \Leftrightarrow &\left(t^{2}+2 t-7\right)\left(t^{2}-2 t-11\right)=0 \end{aligned}$

Ta tìm được bốn nghiệm là: $t_{1,2}=-1 \pm 2 \sqrt{2} ; t_{3,4}=1 \pm 2 \sqrt{3}$

Do $t \geq 0$ nên chỉ nhận các giá trị $t_{1}=-1+2 \sqrt{2}, t_{3}=1+2 \sqrt{3}$

Từ đó tìm được các nghiệm của phương trình 1 : $x=1-\sqrt{2} và x=2+\sqrt{3}$

Cách khác: Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện $2 x^{2}-6 x-1 \geq 0$

Ta được: $x^{2}(x-3)^{2}-(x-1)^{2}=0$ , từ đó ta tìm được nghiệm tương ứng.

Đơn giản nhất là ta đặt : $2 y-3=\sqrt{4 x+5}$ và đưa về hệ đối xứng (Xem phần đặt ẩn phụ đưa về hệ)

Bài 3. Giải phương trình sau: $x+\sqrt{5+\sqrt{x-1}}=6$

HD: Điều kiện: $1 \leq x \leq 6$

Đặt $y=\sqrt{x-1}(y \geq 0)$ thì phương trình trở thành:

$\begin{aligned} &y^{2}+\sqrt{y+5}=5 \Leftrightarrow y^{4}-10 y^{2}-y+20=0 \text { ( với } \\ &y \leq \sqrt{5}) \Leftrightarrow\left(y^{2}+y-4\right)\left(y^{2}-y-5\right)=0 \Leftrightarrow y=\frac{1+\sqrt{21}}{2}\left(\text { loại), } y=\frac{-1+\sqrt{17}}{2}\right. \end{aligned}$