Phương trình bậc nhất một ẩn

Phương trình bậc nhất một ẩn là phương trình có dạng P(x)=Q(x) (x) là ẩn, trong đó vế trái và vế phải là hai biểu thức của cùng một biến x. Vậy cách giải phương trình bậc nhất 1 ẩn như thế nào? Mời các bạn lớp 8 cùng Download.vn theo dõi bài viết dưới đây nhé.

Chuyên đề phương trình bậc nhất một ẩn tổng hợp toàn bộ kiến thức lý thuyết, cách giải và một số bài tập có đáp án kèm theo ví dụ minh họa. Thông qua tài liệu này các bạn có thêm nhiều gợi ý ôn tập, củng cố kiến thức để nhanh chóng giải được các bài Toán 8. Ngoài ra các bạn học sinh tham khảo thêm Các dạng bài tập về phương trình bậc nhất một ẩn, tổng hợp các dạng toán và phương pháp giải Toán 8.

Chuyên đề phương trình bậc nhất một ẩn lớp 8

1. Phương trình một ẩn

Phương trình một ẩn: là một phương trình với ẩn x có dạng A(x) = B(x) .

Trong đó, vế trái A(x) và vế phải B(x) là hai biểu thức của cùng một biến x.

VD: 2x + 1 = x là một phương trình ẩn x

- 2t –5 = 3(4 –t) –7 là một phương trình ẩn t.

- x²+ 1 = x + 1; 2x⁵ = x³ + x;

- x +1 = 0; x² - x =100

2. Phương trình tương đương

Hai phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng một tập tập nghiệm.

Kí hiệu :Hai phuơng trình tương đương với nhau, ta dùng ký hiệu

VD1 : * x –1= 0 x = 1

* x = 2 x - 2 = 0

VD2: Phương trình x + 1 = 0 có nghiệm là x = -1 à S₁= {-1}

Phương trình 4x = -4 có nghiệm là x = -1 à S₂ = {-1}

Hãy so sánh 2 tập nghiệm của phương trình này? S₁ = S₂

Kết luận hai phương trình này tương đương với nhau.

3. Phương trình bậc nhất một ẩn.

Phương trình dạng ax +b = 0, với a và b là hai số đã cho và a 0, được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn .

VD: 5x + 8 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = 5; b = 8

-2x + 4 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -2; b= 4

-7x – 3 = 0: là phương trình bậc nhất một ẩn, trong đó a = -7; b = -3

4. Quy tắc biến đổi phương trình

Quy tắc chuyển vế: Trong phương trình ta có thể chuyển một hạng tử từ vế này sang vế kia và đổi dấu hạng tử đó: Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu (+) đổi thành dấu (-) và dấu (-) đổi thành dấu (+)

VD:

a) Cho phương trình: x – 2 = 0, chuyển hạng tử -2 từ vế trái sang vế phải và đổi dấu thành +2 ta được x = 2

b) x – 4 = 0 ⇔ x = 4

c) $\frac{3}{4}$ + x = 0 ⇔ x = $-\frac{3}{4}$

d) 0,5 – x = 0⇔ x = 0,5

Dấu :*Dấu tương đương : để chỉ 2 phương trình tương đương với nhau, tức là chúng có cùng tập nghiệm.

*Dấu suy ra : để chỉ 2 phương trình không tương đương với nhau, tức là chúng không có cùng tập nghiệm.

d)Quy tắc nhân với một số :

Trong một phương trình ta có thể nhân cả hai vế với cùng một số khác 0. B = C.B (A,C # 0, B tùy ý)

VD : Cho phương trình: $\frac{1}{2}x\ =\ 3$ , nhân hai vế của phương trình với 2 ta được: x = 6

Trong một phương trình ta có thể chia cả hai vế cho cùng một số khác 0.

5. Cách giải phương trình bậc nhất một ẩn

Tổng quát , phương trình ax +b = 0( với a 0) được giải như sau :

ax + b = 0 a x = - b x = -b/a

Vậy phương trình bậc nhất một ẩn

ax +b = 0 luôn có một nghiệm duy nhất x = - b/a

VD: Giải phương trình 3x – 9 =0

3x = 9 (Chuyển – 9 từ vê trái sang vế phải và đổi dấu thành 9)

x= 3 ( chia cả hai vế cho 3)

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA VỀ DẠNG ax + b = 0

Các bước giải phương trình gồm:

B1: Quy đồng mẫu 2 vế.

B2: Nhân 2 vế với mẫu chung để khử mẫu.

B3: Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang 1 vế, hằng số sang vế kia.

B4: Thu gọn và giải pt vừa nhận được.

Chú ý: *Khi giải một phương trình ta thường tìm cách biến đổi phương trình đó về dạng đơn giản nhất ax +b = 0 hay ax = - b

* Quá trình giải có thể dẫn đến hệ số của ẩn bằng 0. Khi đó phương trình có thể vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

VD1: x+1 = x –1 x – x = -1 –1

0.x = - 2 .Phương trình vô nghiệm

VD2: x +1 = x+1

x – x = 1- 1 0.x = 0. Phương trình có vô số nghiệm. Hay nghiệm đúng với mọi x.

VD3: Giải phương trình: 0.x = x

Giải: Xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu x = 0, thì phương trình có dạng : 0.0 = 0 luôn đúng. Do đó, phương trình nhận giá trị x = 0 làm nghiệm.
Trường hợp 2: Nếu x # 0, thì phương trình có dạng: 0.x = x phương trình vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là: S =0

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH

Trong một tích, nếu có một thừa số bằng 0 thì tích bằng 0. Ngược lại, nếu tích bằng 0 thì ít nhất một trong các thừa số của tích bằng 0

a.b = 0 <=> a = 0 hoặc b = 0. (a,b là hai số)

Phương trình tích có dạng:

A(x).B(x) = 0

A(x) = 0 hoặc B(x) = 0

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN Ở MẪU THỨC

Khi biến đổi phương trình mà làm mất mẫu chứa ẩn của phương trình thì phương trình nhận được có thể không tương đương với phương trình đã cho. Bởi vậy khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta phải chú ý đến một yếu tố đặc biệt quan trọng đó là điều kiện xác định của phương trình. Tìm điều kiện xác định của phương trình là tìm tất cả các giái trị của ẩn làm cho các mẫu thức trong phương trình đều khác 0

VD1: Tìm điều kiện xác định của mỗi phương trình sau :

$a) \frac{2 x+1}{x-2}=1$

$b) \frac{2}{x-1}=1+\frac{1}{x+2}$

Giải:

a) ĐXXD: $x-2 \quad \# 0 \Leftrightarrow x \# 2$

b) $\mathrm{DKXD}:\left\{\begin{array}{l}x-1 \neq 0 \\ x+2 \neq 0\end{array} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x \neq 1 \\ x \neq-2\end{array}\right.\right.$

****Cách giải

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của pt rồi khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: (Kết luận) Tìm các giá trị thoả mãn ĐKXĐ.

ĐKXĐ. VD: Giải pt chứa ẩn ở mẫu $\quad \frac{x+2}{x}=\frac{2 x+3}{2(x-2)}$

+ Bước 2 Quy đồng khử mẫu hai vế của phương trình:

$\frac{2(x+2)(x-2)}{2 x(x-2)}=\frac{x(2 x+3}{2(x-2)} \quad \Rightarrow 2(x+2)(x-2)=x(2 x+3)$

+ Bước 3 : Giải phương trình $2(x+2)(x-2)=x(2 x+3) \quad \Leftrightarrow x=-\frac{8}{3}$

.........................

PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

1. Nhắc lại về giá trị tuyệt đối

Giá trị tuyệt đối của số a được định nghĩa:

$|\mathrm{a}|=\left\{\begin{array}{l} \text { a nếu } \mathrm{a} \geq 0 \\ \text {-a nếu } \mathrm{a} \leq 0 \end{array}\right.$

$\underline{\text { VD1: }}|12|=12$

$; \quad\left|-\frac{2}{3}\right|=-\left(-\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{3} \quad ; \quad|0|=0$

VD2: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn các biểu thức:

$a) A=|\mathrm{x}-3|+x-2 khi x \geq 3$

b) B=4 x+5+|-2 x| khi x>0

Giải:

a) $Khi x \geq 3 ta có x-3 \geq 0$

nên |x-3|=x-3.

Vây: A=x-3+x-2=2 x-5

b) Khi x>0 ta có -2 x<0 nên $\quad|-2 x|=-(-2 x)=2 x.$

Vây: B=4 x+5+2 x=6 x+5.

VD3: Rút gọn các biểu thức :

a) $C=|-3 \mathrm{x}|+7 x-4 khi x \leq 0$

b) D=5-4 x+|x-6| khi x<6

Giải:

a) Khi $x \leq 0 \Rightarrow-3 x \geq 0$ nên |-3 x|=-3 x

Vây C=-3 x+7 x-4=4 x-4

b) Khi $x<6 \Rightarrow x-6<0$ nên $\quad|x-6|=-(x-6)=6-x$

Vây D=5-4 x+6-x=11-5 x

VD3: Rút gọn các biểu thức :

a) $C=|-3 \mathrm{x}|+7 x-4 khi x \leq 0$

b) D=5-4 x+|x-6| khi x<6

Giải

:a) Khi $x \leq 0 \Rightarrow-3 x \geq 0$ nên |-3 x|=-3 x

Vây $\mathrm{C}=-3 \mathrm{x}+7 \mathrm{x}-4=4 x-4$

b) Khi $x<6 \Rightarrow x-6<0$ nên $\quad|x-6|=-(x-6)=6-x$

Vây D=5-4 x+6-x=11-5 x

2. Giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.

VD1: Giải phương trình: $|3 \mathrm{x}|=x+4$

Giải:

Điều kiện: $x+4 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq-4$ (Do vế trái luôn luôn $\geq 0$ ).

$|3 x|=x+4 \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { 3 x = x + 4 } \\ { 3 x = - ( x + 4 ) } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} 3 x-x=4 \\ 3 x=-x-4 \end{array}\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { 2 x = 4 } \\ { 3 x + x = - 4 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { x = 2 } \\ { 4 x = - 4 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x=2 \\ x=-1 \end{array} \text { (TM} \right.\right.\right. \text { ) }$

Vây phương trình đã cho có tập nghiệm là: $S=\{-1 ; 2\}.$

VD2: Giải phương trình: $|\mathrm{x}-3|=9-2 x$

Giải :

Điều kiện: $9-2 x \geq 0 \Leftrightarrow 9 \geq 2 x \Leftrightarrow \frac{9}{2} \geq x hay x \leq 4,5.$

Ta có:

$|x-3|=9-2 x \Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { x - 3 = 9 - 2 x } \\ { x - 3 = - ( 9 - 2 x ) } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{c} x+2 x=9+3 \\ x-3=-9+2 x \end{array}\right.\right.$

$\Leftrightarrow\left\{\begin{array} { c } { 3 x = 1 2 } \\ { x - 2 x = - 9 + 3 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array} { c } { x = 4 } \\ { - x = - 6 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} x=4 \\ x=6 \end{array}\right.\right.\right. \text { (Chon) }$