Hệ thức Vi ét và ứng dụng

Bài tập hệ thức Vi-et là một trong những kiến thức cơ bản trong chương trình Toán lớp 9 hiện hành và thường xuất hiện trong các bài thi vào 10 môn Toán.

Bài tập về hệ thức Viet tổng hợp toàn bộ kiến thức về lý thuyết, ví dụ minh họa, các dạng bài tập tự luyện kèm theo. Qua đó giúp các bạn học sinh tham khảo, hệ thống lại kiến thức để giải nhanh các bài tập hệ thức Vi-et. Ngoài ra để nâng cao kiến thức môn Toán thật tốt các em xem thêm một số tài liệu như: chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng.

Bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng

Dạng 1: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

1. Dạng đặc biệt: Phương trình bậc hai có một nghiệm là 1 hoặc -1 Vi du 1: Nhầm nghiệm của các phương trình sau:

a) $3 x^{2}+8 x-11=0$

b) $2 x^{2}+5 x+3=0$

1.2. Cho phương trình bậc hai, có một hệ số cho biết, cho truớc một nghiệm, tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số chưa biết của phương trình:

Vi dụ 2:

a) Phương trình $x^{2}-2 p x+5=0$ có một nghiệm bằng 2, tìm p và nghiệm còn lại của phương trình.

b) Phương trình $x^{2}+5 x+q=0$ có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm còn lại của phương trình

c) Phương trình $x^{2}-7 x+q=0$ biết hiệu hai nghiệm bằng 11 . Tìm q và hai nghiệm của phương trình

d) Phương trình $x^{2}-q x+50=0$ có hai nghiệm trong đó một nghiệm gấp đôi nghiệm kia, tìm q và hai nghiệm đó.

Bài 1: Tìm nghiệm của phương trình

a) 5 $x^{2}+24 x+19=0$

b) $x^{2}-(m+5) x+m+4=0$

Bài 2: Xác định m và tìm nghiệm còn lại của phương trình

a) $x^{2}+m x-35=0$ biết một nghiệm bằng -5

b) $2 x^{2}-(m+4) x+m=0$ biết một nghiệm bằng -3

c) $m x^{2}-2(m-2) x+m-3=0$ biết một nghiệm bằng 3

2. Dạng 2: Lập phương trình bậc hai

2.1. Lập phương trình bậc hai biết hai nghiệm Vi dụ 1: Lập một phương trình bậc hai chứa hai nghiệm là 3 và 2

Ví dụ 2: Cho $\mathrm{x}_{1}=\frac{\sqrt{3}+1}{2} ; \mathrm{x}_{2}=\frac{1}{1+\sqrt{3}}$

Hãy lập phương trình bậc hai có nghiệm: $\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2}.$

2.2. Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm thoả mãn biểu thức chứa hai nghiệm của một phương trình cho trước.

Vi dụ 1: Cho phương trình $x^{2}-3 x+2=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}.$

Vi dụ 2: Cho phương trình $3 x^{2}+5 x-6=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}.$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=x_{1}+\frac{1}{x_{2}} ; y_{2}=x_{2}+\frac{1}{x_{1}}$

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phương trình: $\mathrm{x}^{2}+\mathrm{px}+\mathrm{q}=0$ sao cho hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}.$ của phương trình thoả mãn hệ: $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}_{1}-\mathrm{x}_{2}=5 \\ \mathrm{x}_{1}^{3}-\mathrm{x}_{2}^{3}=35\end{array}\right.$

* Bài tập áp dụng:

Bài 1: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm là:

a) 8 và -3

b) 36 và -104

c) $1+\sqrt{2} và 1-\sqrt{2}$

d) $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ và $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}$

Bài 2: Cho phương trình $x^{2}-5 x-1=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=x_{1}^{4} ; y_{2}=x_{2}^{4}$

Bài 3: Cho phương trình $x^{2}-2 x-8=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=x_{1}-3 ; y_{2}=x_{2}-3$

Bài 4: Lập phương trình bậc hai có các nghiệm bằng nghịch đảo các nghiệm của phương $x^{2}+m x-2=0$

Bài 5: Cho phương trình $x^{2}-2 x-m^{2}=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm $y_{1}=2 x_{1}-1 ; y_{2}=2 x_{2}-1$

Bài 6: Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x_{1}-x_{2}=2 \\ x_{1}^{3}-x_{2}{ }^{3}=26\end{array}\right.$

3. Dạng 3: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng.

Ví du 1: Tìm hai số a và b biết S=a+b=-3, P=a b=-4

Ví dụ 2: Tìm hai số a và b biết S=a+b=3, P=a b=6

* Bài tập áp dụng:

1: Tìm hai số biết tổng S =9 và tích P=20

2. Tìm x, y biết

a) x+y=11 ; x y=28

b) x-y=5 ; x y=66

Bài 3: Tìm hai số x, y biết: $x^{2}+y^{2}=25 ; x y=12$

4. Dạng 4: Dạng toán về biểu thức liên hệ giữa các nghiệm của phương trình bậc hai.

4.1. Tính giá trị của biểu thức chứa nghiệm.

Ví dụ

1: Cho phương trình $x^{2}-8 x+15=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ hãy tính

a) $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

b) $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$

c) $\frac{x_{1}}{x_{2}}+\frac{x_{2}}{x_{1}}$

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho phương trình $8 x^{2}-72 x+64=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ hãy tính

$a) x_{1}^{2}+x_{2}^{2}$

$b) \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$

Bài 2: Cho phương trình $x^{2}-14 x+29=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ hãy tính

$a) x_{1}^{3}+x_{2}^{3}$

$b) \frac{1-x_{1}}{x_{1}}+\frac{1-x_{2}}{x_{2}}$

4.2. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình không phụ thuộc tham Số

Ví dụ 1: Cho Phương trình $m x^{2}-(2 m+3) x+m-4=0$ (m là tham số)

a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa $x_{1} ; x_{2}$ không phụ thuộc vào m

Ví dụ 2: Gọi $x_{1} ; x_{2}$ là nghiệm của phương trình $(m-1) x^{2}-2 m x+m-4=0$

Chứng minh biểu thức $A=3\left(x_{1}+x_{2}\right)+2 x_{1} x_{2}-8$ không phụ thuộc giá trị của m

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Cho phương trình $x^{2}-(m+2) x+2 m-1=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ . Hãy lập hệ thức liên hệ giữa $x_{1} ; x_{2}$ sao cho chúng độc lập (không phụ thuộc) với m

Bài 2:

Cho phương trình $x^{2}-2(m+1) x+m^{2}-1=0 (1)$

a) Giải phương trình (1) khi m=7

b) Tìm tất cả các giá trị m để (1) có nghiệm.

c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ của (1) sao cho hệ thức đó không phụ thuộc tham số m

4.3. Tìm giá trị của tham số thỏa mãn biểu thức nghiệm cho trước.

Ví dụ 1: Cho phương trình $m x^{2}-6(m-1) x+9(m-3)=0$ . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}+x_{2}=x_{1} x_{2}$

Ví dụ 2: Cho phương trình $m x^{2}-2(m-4) x+m+7=0$ . Tìm giá trị của tham số m để phương trình có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}-2 x_{2}=0$

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình $3 x^{2}+4(m-1) x+m^{2}-4 m+1=0$ có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}=\frac{1}{2}\left(x_{1}+x_{2}\right)$

Ví dụ 4: Cho phương trình $x^{2}-2(m-1) x+2 m-5=0$

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm $\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2}$ với mọi m

Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm $\mathrm{x}_{1} ; \mathrm{x}_{2}$ thỏa mãn điều kiện:

Bài tập áp dụng:

$\left(x_{1}^{2}-2 m x_{1}+2 m-1\right)\left(x_{2}^{2}-2 m x_{2}+2 m-1\right)<0$

Bài 1: Cho phương trình $x^{2}+(m-1) x+5 m-6=0$ . Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $4 x_{1}+3 x_{2}=1$

Bài 2: Cho phương trình $m x^{2}-2(m-1) x+3(m-2)=0$ . Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}+2 x_{2}=1$

Bài 3: Cho phương trình $x^2-2 m x+4 m-3=0$

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm $\mathrm{x}_1,\mathrm{x}_2$ thỏa mãn: $\mathrm{x}_1{ }^2+\mathrm{x}^2{ }_2=6$

Bài 4: Cho phương trình $x^2+(2 m-1) x-m=0$

a) Chứng tỏ rằng phương trình luôn có nghiệm với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_1 ; x_2$ thỏa mãn $x_1-x_2=1$

Bài 5: Cho phương trình $x^2-(2 m+1) x+m^2+2=0$ . Tìm giá trị của tham số m để hai nghiệm $x_1 ; x_2$ thỏa mãn $3 x_1 x_2-5\left(x_1+x_2\right)+7=0.$

Bài 6: Cho phương trình $8 x^2-8 x+m^2+1=0\left(^*\right) ( \mathrm{x}$ là ẩn số)

Định m để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa điều kiện:

$x_1^4-x_2^4=x_1^3-x_2^3$

Bài 7: Cho phương trình: $3 x^2-(3 m-2) x-(3 m+1)=0.$

Tìm m để 2 nghiệm $x_1 và x_2$ thoả mãn hệ thức: $3 x_1-5 x_2=6$

Bài 8: Cho phương trình: $\mathrm{x}^2-(\mathrm{m}+1) \mathrm{x}+\mathrm{m}-5=0.$

Xác định tham số m để phương trình có hai nghiệm $\mathrm{x}_1, \mathrm{X}_2$ thỏa mãn $\left\{\begin{array}{l}x_1-x_2=4 \\ x_1^3-x_2^3=32\end{array}\right.$

Bài 9: Định m để phương trình $\mathrm{x}^2-(\mathrm{m}-1) \mathrm{x}+2 \mathrm{~m}=0$ có hai nghiệm phân biệt $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 .

Bài 10: Cho phương trình $x^2-2(m+1) x+4 m=0 \quad (1)$

Tìm m để phương trình (1) có nghiệm $\mathrm{x}_1, \mathrm{x}_2$ thỏa mãn $\left(\mathrm{x}_1+\mathrm{m}\right)\left(\mathrm{x}_2+\mathrm{m}\right)=3 \mathrm{~m}^2+12$