Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Giải Toán 9 trang 19, 20 Tập 2 giúp các bạn học sinh tham khảo cách giải, đối chiếu với lời giải hay chính xác phù hợp với năng lực của các bạn lớp 9.

Giải Toán lớp 9 Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số được biên soạn đầy đủ tóm tắt lý thuyết, trả lời các câu hỏi phần bài tập cuối bài trang 19, 20. Qua đó giúp các bạn học sinh có thể so sánh với kết quả mình đã làm, củng cố, bồi dưỡng và kiểm tra vốn kiến thức của bản thân. Vậy sau đây là nội dung chi tiết giải bài tập Toán 9 bài 4 chương 3 tập 2, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Lý thuyết Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

1. Quy tắc cộng đại số

Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệ phương trình thành hệ phương trình tương đương. Quy tắc cộng đại số gồm hai bước:

Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới.

Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của hệ (và giữ nguyên phương trình kia) ta được hệ phương trình mới tương đương với hệ đã cho.

2. Cách giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số

Bước 1: Nhân các vế của hai phương trình với số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ bằng nhau hoặc đối nhau.

Bước 2: Sử dụng quy tắc cộng đại số để được hệ phương trình mới, trong đó có một phương trình mà hệ số của một trong hai ẩn bằng 0 (tức là phương trình một ẩn).

Bước 3: Giải phương trình một ẩn vừa thu được rồi suy ra nghiệm của hệ đã cho.

3. Chú ý

+ Trong phương pháp cộng đại số, trước khi thực hiện bước 1, có thể nhân hai vế của mỗi phương trình với một số thích hợp (nếu cần) sao cho các hệ số của một ẩn nào đó trong hai phương trình của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau.

+ Đôi khi ta có thể dùng phương pháp đặt ẩn phụ để đưa hệ phương trình đã cho về hệ phương trình với hai ẩn mới, rồi sau đó sử dụng một trong hai phương pháp giải ở trên.

4. Các dạng toán thường gặp

Dạng 1: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Dạng 2: Giải hệ phương trình đưa về hệ phương trình bậc nhất hai ẩn
Dạng 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp đặt ẩn phụ
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để hệ phương trình thỏa mãn điều kiện cho trước

Giải bài tập toán 9 trang 19 tập 2

Bài 20

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

$a) \left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.$

$b) \left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.$

$c) \left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right.$

$d) \left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right.$

e) $\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right.$

Xem gợi ý đáp án

$a) \left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right.$

Cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được

$\left\{\begin{matrix} 3x + y =3 & & \\ 2x - y = 7 & & \end{matrix}\right. \\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x+y+2x-y =3+7 & & \\ 2x -y = 7& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5x =10 & & \\ 2x -y = 7& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = 2x-7& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = 2.2-7& & \end{matrix}\right.\\\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =2 & & \\ y = -3& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (2; -3).

$b) \left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.$

Trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 2x - 3y = 0& & \end{matrix}\right.$ $\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5y =8 & & \\ 2x +5y-(2x-3y) = 8-0& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ 8y = 8& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x + 5y =8 & & \\ y = 1& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+5.1 =8 \\ y = 1& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =\dfrac{3}{2} & & \\ y = 1& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là ${\left(\dfrac{3}{2}; 1\right)}.$

$c) \left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 2x + y = 4& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ 4x + 2y =8& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+3y =6 & & \\ 4x +3y-(4x+2y) = 6-8& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x + 3y =6 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x+3.(-2) =6 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x =12 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =3 & & \\ y = -2& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (3; -2).

$d) \left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 3, nhân hai vế của phương trình thứ hai với 2, rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được

$\left\{\begin{matrix} 2x + 3y =-2 & & \\ 3x -2y = -3& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x + 9y = -6 & & \\ 6x - 4y = -6& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x+9y =-6 & & \\ 6x +9y-(6x-4y) = -6-(-6)& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6x + 9y = -6 & & \\ 13y = 0& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = -1 & & \\ y = 0 & & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (-1; 0).

$\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right.$

Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 5 rồi trừ vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\left\{\begin{matrix} 0,3x + 0,5y =3 & & \\ 1,5x -2y = 1,5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x + 2,5y=15 & & \\ 1,5x - 2y = 1,5 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x+2,5y =15 & & \\ 1,5x +2,5y-(1,5x-2y) = 15-1,5& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x + 2,5y=15 & & \\ 4,5y = 13,5 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x =15 -2, 5 . 3& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 1,5x =7,5& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x =5& & \\ y = 3 & & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất là (5; 3).

Bài 21

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số.

$a) \left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.;$

$b) \left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.$

Xem gợi ý đáp án

a) Nhân cả hai vế của phương trình thứ nhất với -\sqrt 2, rồi cộng từng vế hai phương trình, ta được:

$\left\{\begin{matrix} x\sqrt{2} - 3y = 1 & & \\ 2x + y\sqrt{2}=-2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y = -\sqrt{2}& & \\ 2x + \sqrt{2}y = -2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -2x + 3\sqrt{2}.y+2x+ \sqrt{2}.y = -\sqrt{2}-2& & \\ 2x + \sqrt{2}y = -2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4\sqrt{2}.y = -\sqrt{2} - 2& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-\sqrt{2} - 2}{4\sqrt 2}& & \\ 2x + y\sqrt{2} = -2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x = -y\sqrt{2} -2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x =- \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}.\sqrt{2} -2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} y = \dfrac{-1-\sqrt{2}}{4}& & \\ 2x =\dfrac{\sqrt 2 -6}{4}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = -\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{8}& & \\ y = -\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4}& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ${\left( -\dfrac{3}{4} + \dfrac{\sqrt{2}}{8}; -\dfrac{1}{4} - \dfrac{\sqrt{2}}{4} \right)}$

b) Nhân hai vế của phương trình thứ nhất với $\sqrt{2}$ , rồi cộng từng vế hai phương trình.

Ta có $\left\{\begin{matrix} 5x\sqrt{3}+ y = 2\sqrt{2}& & \\ x\sqrt{6} - y \sqrt{2} = 2& & \end{matrix}\right.$

Suy ra

$\left\{\begin{matrix} 5\sqrt 6 x + y \sqrt 2 = 4 & & \\ x \sqrt 6 - y \sqrt 2=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 6 \sqrt 6 x=6 & & \\ x \sqrt 6 -y \sqrt 2 =2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y \sqrt 2 = x \sqrt 6 -2& & \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y \sqrt 2 = \dfrac{\sqrt 6}{6}. \sqrt 6 -2& & \end{matrix} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x= \dfrac{\sqrt 6}{6} & &\\ y =- \dfrac{\sqrt 2}{2}& & \end{matrix} \right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là ${\left(\dfrac{\sqrt 6}{6}; -\dfrac{\sqrt 2}{2} \right)}$

Giải bài tập toán 9 trang 19 tập 2: Luyện tập

Bài 22

Giải các hệ phương trình sau bằng phương pháp cộng đại số:

$a) \left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right.$

$b) \left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right.$

$c) \left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \dfrac{2}{3}y = 3\dfrac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Xem gợi ý đáp án

$a) \left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right.$

Nhân phương trình trên với 3, nhân phương trình dưới với 2, rồi cộng vế với vế của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\left\{\begin{matrix} -5x + 2y = 4 & & \\ 6x - 3y =-7 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -15x + 6y = 12& & \\ 12x - 6y =-14 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -3x = -2& & \\ -15x + 6y = 12& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{2}{3}& & \\ 6y = 12 + 15 . x& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{2}{3}& & \\ 6y = 12+15.\dfrac{2}{3}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{2}{3}& & \\ 6y = 22& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{2}{3}& & \\ y =\dfrac{11}{3}& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là ${\left(\dfrac{2}{3}; \dfrac{11}{3} \right)}$

$b) \left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right.$

Nhân hai vế phương trình trên với 2 rồi cộng hai vế của hai phương trình với nhau, ta được:

$\left\{\begin{matrix} 2x - 3y = 11& & \\ -4x + 6y = 5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ -4x + 6y = 5& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ 4x - 6y = -5& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 4x - 6y = 22& & \\ 0x - 0y = 27\ (vô\ lý) & & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình vô nghiệm.

$c) \left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \dfrac{2}{3}y = 3\dfrac{1}{3} & & \end{matrix}\right.$

Đổi hỗn số về phân số rồi nhân hai vế của phương trình dưới với 3 sau đó trừ vế với vế của hai phương trình ta được:

$\left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \dfrac{2}{3}y = 3\dfrac{1}{3} & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ x - \dfrac{2}{3}y = \dfrac{10}{3} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3x - 2y = 10& & \\ 3x - 2y = 10 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{R} & & \\ 3x -2y= 10& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \in \mathbb{R} & & \\ y= \dfrac{3x-10}{2}& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình có vô số nghiệm.

Bài 23

Giải hệ phương trình sau:

$\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2})x+ (1 - \sqrt{2})y = 5 \ (1) & & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3\ (2) & & \end{matrix}\right.$

Xem gợi ý đáp án

Xét hệ $\left\{\begin{matrix} (1 + \sqrt{2})x+ (1 - \sqrt{2})y = 5 \ (1) & & \\ (1 + \sqrt{2})x + (1 + \sqrt{2})y = 3\ (2) & & \end{matrix}\right.$

Trừ từng vế hai phương trình (1) cho (2), ta được:

$(1+\sqrt{2})x+(1 - \sqrt{2})y - (1+\sqrt2)x-(1 + \sqrt{2})y = 5-3$

$(1 - \sqrt{2})y - (1 + \sqrt{2})y = 5-3 ⇔ (1 - \sqrt{2} - 1 - \sqrt{2})y = 2$

$\Leftrightarrow -2\sqrt{2}y = 2 \Leftrightarrow y = \dfrac{-2}{2\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow y =\dfrac{-\sqrt{2}}{2} (3)$

Thay (3) vào (1) ta được:

$(1 + \sqrt{2})x + (1 - \sqrt{2})\dfrac{-\sqrt{2}}{2} = 5$

$\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x + \dfrac{-\sqrt{2}}{2} + \dfrac{\sqrt 2 . \sqrt 2}{2} = 5$

$\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x + \dfrac{-\sqrt{2}}{2} + 1 = 5 \Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x =5- \dfrac{-\sqrt{2}}{2} - 1$

$\Leftrightarrow (1 + \sqrt{2})x = \dfrac{8 + \sqrt{2}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{8 + \sqrt{2}}{2(1 + \sqrt{2})}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{(8 + \sqrt{2}).(1-\sqrt 2)}{2(1 + \sqrt{2})(1- \sqrt 2)} \Leftrightarrow x = \dfrac{8 - 8\sqrt{2} + \sqrt{2} -2}{2(1 - 2)}$

$\Leftrightarrow x = \dfrac{6 - 7\sqrt{2}}{-2} \Leftrightarrow x = \dfrac{ 7\sqrt{2}-6}{2}$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là: ${\left(\dfrac{ 7\sqrt{2}-6}{2}; \dfrac{-\sqrt{2}}{2} \right)}$

Bài 24

Giải hệ các phương trình:

a) $\left\{\begin{matrix} 2(x + y)+ 3(x - y)=4 & & \\ (x + y)+2 (x - y)= 5& & \end{matrix}\right.$

$b) \left\{\begin{matrix} 2(x -2)+ 3(1+ y)=-2 & & \\ 3(x -2)-2 (1+ y)=-3& & \end{matrix}\right.$

Xem gợi ý đáp án

a) $\left\{\begin{matrix} 2(x + y)+ 3(x - y)=4 & & \\ (x + y)+2 (x - y)= 5& & \end{matrix}\right.$

Thực hiện nhân phá ngoặc và thu gọn, ta được:

$\left\{\begin{matrix} 2(x+y)+3(x-y) =4 & & \\ (x+y) +2(x-y) =5 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x+2y+3x-3y =4 & & \\ x+y +2x-2y =5 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}5x-y =4 & & \\ 3x-y =5 & & \end{matrix}\right.$

Trừ vế với vế của hai phương trình ta được:

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}2x =-1 & & \\ 3x-y =5 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =3x-5 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =3.\dfrac{-1}{2}-5 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}x =-\dfrac{1}{2} & & \\ y =\dfrac{-13}{2} & & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là ${\left( \dfrac{-1}{2}; \dfrac{-13}{2} \right)}.$

$b) \left\{\begin{matrix} 2(x -2)+ 3(1+ y)=-2 & & \\ 3(x -2)-2 (1+ y)=-3& & \end{matrix}\right.$

Phá ngoặc và thu gọn vế trái của hai phương trình trong hệ, ta được:

$\left\{\begin{matrix} 2(x-2)+3(1+y)=-2 & & \\ 3(x - 2)- 2(1+ y) = -3& & \end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix} 2x-4+3+3y=-2 & & \\ 3x - 6- 2-2 y = -3& & \end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix} 2x+3y=-1 & & \\ 3x-2 y = 5& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 6x-4 y = 10& & \end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix} 6x+9y=-3 & & \\ 13y = -13& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} 6x=-3 - 9y & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.$

$⇔\left\{\begin{matrix} 6x=6 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y = -1& & \end{matrix}\right.$

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là (1; -1).

Bài 25

Ta biết rằng: Một đa thức bằng đa thức 0 khi và chỉ khi tất cả các hệ số của nó bằng 0. Hãy tìm các giá trị của m và n để đa thức sau (với biến số x) bằng đa thức 0:

P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10).

Xem gợi ý đáp án

Ta có

P(x) = (3m - 5n + 1)x + (4m - n -10) có hai hệ số là a=(3m - 5n + 1) và b=(4m - n -10).

Do đó $P(x) = 0 \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3m - 5n +1 = 0 & & \\ 4m - n -10=0& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3m - 5n = -1 & & \\ 4m - n =10& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3m - 5n = -1 & & \\ 20m - 5n =50& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3m - 5n - \left( {20m - 5n} \right) = - 1 - 50\\ 4m - n = 10 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -17m = -51 & & \\ 4m - n =10& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m = 3 & & \\ -n = 10 - 4.3& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m = 3 & & \\ n = 2& & \end{matrix}\right.$

Vậy m=3, n=2 thì đa thức P(x) =0.

Bài 26

Xác định a và b để đồ thị của hàm số y = ax + b đi qua điểm A và B trong mỗi trường hợp sau:

a)A(2; -2) và B(-1; 3)

b) A(-4; -2) và B(2; 1)

c) A(3; -1) và B(-3; 2)

d) $A(\sqrt{3}; 2)$ và B(0; 2)

Xem gợi ý đáp án

a)A(2; -2) và B(-1; 3)

Hàm số y=ax+b (1)

Vì đồ thị hàm số đi qua A(2; -2), thay x=2, y=-2 vào (1), ta được: -2=2a + b.

Vì đồ thị hàm số đi qua B(-1; 3), thay x=-1, y=3 vào (1), ta được: 3=-a + b.

Ta có hệ phương trình ẩn là a và b.

$\left\{\begin{matrix} 2a + b = -2 & & \\ -a + b = 3& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2a + b - \left( { - a + b} \right) = - 2 - 3\\ - a + b = 3 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3a = -5 & & \\ -a + b = 3 & & \end{matrix}\right. .$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{-5}{3} & & \\ - b = a+3 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = \dfrac{-5}{3} & & \\ b = \dfrac{-5}{3}+3 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a = -\dfrac{5}{3} & & \\ b = \dfrac{4}{3}& & \end{matrix}\right.$

Vậy $a = -\dfrac{5}{3} và b = \dfrac{4}{3} .$

b) A(-4; -2) và B(2; 1)

Hàm số y=ax+b (1)

Vì đồ thị hàm số đi qua A(-4; -2), thay x=-4,\ y=-2 vào (1), ta được: -2=-4a + b .

Vì đồ thị hàm số đi qua B(2; 1), thay x=2, y=1 vào (1), ta được: 1=2a + b.

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b:

$\left\{\begin{matrix} -4a + b = -2 & & \\ 2a + b = 1& & \end{matrix}\right.$

$\left\{ \begin{array}{l} - 4a + b - \left( {2a + b} \right) = - 2 - 1\\ 2a + b = 1 \end{array} \right.$

$⇔ \left\{\begin{matrix} -6a = -3 & & \\ 2a + b = 1& & \end{matrix}\right.$

$⇔ \left\{\begin{matrix} a=\dfrac{1}{2} & & \\ b = 1-2a & & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{2} & & \\ b = 1-2.\dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} a = \dfrac{1}{2} & & \\ b = 0 & & \end{matrix}\right.$

Vậy $a = \dfrac{1}{2};\ b=0.$

c) A(3; -1) và B(-3; 2)

Hàm số y=ax+b (1)

Vì đồ thị hàm số đi qua A(3; -1), thay x=3, y=-1 vào (1), ta được: -1=3a + b

Vì đồ thị hàm số đi qua B(-3; 2), thay x=-3,y=2 vào (1), ta được: 2=-3a + b.

Ta có hệ phương trình ẩn a, b:

$\left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 & & \\ -3a + b = 2& & \end{matrix}\right.$

$⇔ \left\{ \begin{array}{l} 3a + b = - 1\\ 3a + b + \left( { - 3a + b} \right) = - 1 + 2 \end{array} \right.$

$⇔ \left\{\begin{matrix} 3a + b = -1 & & \\ 2b = 1& & \end{matrix}\right.$

$⇔ \left\{\begin{matrix} 3a =-1 -b & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} 3a =-1 -\dfrac{1}{2} & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right.$

$⇔ \left\{\begin{matrix} 3a =\dfrac{-3}{2} & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} a =\dfrac{-1}{2} & & \\ b = \dfrac{1}{2}& & \end{matrix}\right.$

Vậy $a=\dfrac{-1}{2},\ b = \dfrac{1}{2}.$

d) $A(\sqrt{3}; 2)$ và B(0; 2)

Hàm số y=ax+b (1)

Vì đồ thị hàm số đi qua $A(\sqrt{3}; 2)$ , thay $x= \sqrt 3,$ y=2 vào (1), ta được: $2= \sqrt{3}a + b$ .

Vì đồ thị hàm số đi qua B(0; 2), thay x=0, y=2 vào (1), ta được: 2= 0 . a + b .

Ta có hệ phương trình ẩn là a, b.

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}.a + b =2 & & \\ 0. a + b = 2& & \end{matrix}\right. ⇔\left\{\begin{matrix} \sqrt{3}.a + b =2 & & \\ b = 2& & \end{matrix}\right. ⇔ \left\{\begin{matrix} a = 0 & & \\ b = 2 & & \end{matrix}\right.$

Vậy a=0, b=2.

Bài 27

Bằng cách đặt ẩn phụ (theo hướng dẫn), đưa các hệ phương trình sau về dạng hệ hai phương trình bậc nhật hai ẩn rồi giải:

a) $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} - \dfrac{1}{y} = 1& & \\ \dfrac{3}{x} + \dfrac{4}{y} = 5& & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn. Đặt $u =\dfrac{1}{x},\ v =\dfrac{1}{y}$

$b) \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{y -1} = 2 & & \\ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn. Đặt $u = \dfrac{1}{x - 2},\ v = \dfrac{1}{y - 1}.$

Xem gợi ý đáp án

a) Điền kiện x ≠ 0, y ≠ 0.

Đặt $\left\{\begin{matrix} u = \dfrac{1}{x} & & \\ v = \dfrac{1}{y} & & \end{matrix}\right.$ (với $u \ne 0,\ v \ne 0$ ).

Phương trình đã cho trở thành:

$\left\{\begin{matrix} u - v = 1 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 3u - 3v = 3 & & \\ 3u + 4v = 5& & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 3u - 3v - \left( {3u + 4v} \right) = 3 - 5\\ 3u + 4v = 5 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} -7v = -2 & & \\ 3u = 5- 4v & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v =\dfrac{2}{7} & & \\ 3u = 5- 4.\dfrac{2}{7} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v =\dfrac{2}{7} & & \\ u = \dfrac{9}{7} & & \end{matrix} \right.$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x} = \dfrac{9}{7}& & \\ \dfrac{1}{y} = \dfrac{2}{7}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = \dfrac{7}{9}& & \\ y = \dfrac{7}{2}& & \end{matrix}(thỏa\ mãn )\right.$

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất ${\left(\dfrac{7}{9};\dfrac{7}{2} \right)}.$

$b) \left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{y -1} = 2 & & \\ \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{3}{y - 1} = 1 & & \end{matrix}\right.$

Hướng dẫn. Đặt $u = \dfrac{1}{x - 2},\ v = \dfrac{1}{y - 1}.$

Điều kiện $\left\{\begin{matrix} x-2 \ne 0 & & \\ y-1 \ne 0 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x \ne 2 & & \\ y \ne 1 & & \end{matrix}\right.$

Đặt $\left\{\begin{matrix} u = \dfrac{1}{x -2} & & \\ v = \dfrac{1}{y -1} & & \end{matrix}\right.$ (với $u \ne 0,\ v \ne 0$ ).

Phương trình đã cho trở thành:

$\left\{\begin{matrix} u + v = 2 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2u + 2v = 4 & & \\ 2u - 3v = 1 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 2u + 2v - \left( {2u - 3v} \right) = 4 - 1\\ u + v = 2 \end{array} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 5v = 3 & & \\ u+v=2 & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=2-v & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=2-\dfrac{3}{5} & & \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} v = \dfrac{3}{5} & & \\ u=\dfrac{7}{5} & & \end{matrix} \right.$

Suy ra $\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{x -2} = \dfrac{7}{5}& & \\ \dfrac{1}{y -1} = \dfrac{3}{5}& & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x -2 = \dfrac{5}{7}& & \\ y - 1 = \dfrac{5}{3}& & \end{matrix}\right.$