MÔN THI: TOÁN (CHUYÊN)
Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
--------------------------------------------------------------------------------

Câu 1: (2,0 điểm)

Cho phương trình: x² - 2x + 4a = 0 (x là ẩn số). Giả sử hai nghiệm x₁, x₂ của phương trình là số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác.

a) Tìm các giá trị của a để diện tích của tam giác vuông bằng 1/3 (đơn vị diện tích).

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức .

Câu 2: (2,0 điểm)

Giải phương trình:

Câu 3: (1,5 điểm)

Cho các số thực a, b, c thoả mãn: ab + bc + ca = 2

Chứng minh: .

Câu 4: (3,5 điểm)

Cho tam giác ABC vuông tại A, nội tiếp trong đường tròn (O). Trên cung BC không chứa A, lấy điểm M tuỳ ý (M khác C). P là điểm trên cạnh BC sao cho góc BAM = góc PAC. Trên các tia AB, AC lấy lần lượt các điểm E, F sao cho BE = CF = BC.

a) Chứng minh: ΔABP : ΔAMC và MC.AB + MB.AC = MA.BC

b) Chứng minh:

c) Xác định vị trí điểm N trên đường tròn (O) để tổng NA + NB + NC lớn nhất.

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho các số nguyên a, b, c, d và số nguyên dương p. Chứng minh rằng nếu a + b + c + d, a² + b² + c² + d² chia hết cho p thì a⁴ + b⁴ + c⁴ + d⁴ cũng chia hết cho p.

Download tài liệu để xem thêm chi tiết