Công thức biến đổi tích thành tổng

Công thức biến đổi tích thành tổng là tài liệu vô cùng hữu ích mà Download.vn muốn giới thiệu đến các bạn lớp 12 cùng tham khảo.

Công thức biến đổi tích thành tổng bao gồm công thức biến đổi, cách ghi nhớ và các ví dụ minh họa có đáp án kèm theo. Qua công thức biến tích thành tổng giúp các bạn học sinh lớp 12 có thêm nhiều tư liệu tham khảo, trau dồi kiến thức để giải nhanh được các bài tập lượng giác. Ngoài ra các bạn xem thêm: 6 Công thức tính lãi suất, Cách tính số phức liên hợp.

1. Công thức biến đổi tích thành tổng

$\begin{aligned} &\cos a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\cos (a+b)+\cos (a-b)] \\ &\sin a \cdot \sin b=-\frac{1}{2}[\cos (a+b)-\cos (a-b)] \\ &\sin a \cdot \cos b=\frac{1}{2}[\sin (a+b)+\sin (a-b)] \end{aligned}$

2. Cách ghi nhớ Công thức biến đổi tích thành tổng

Tính sin tổng ta lập tổng sin cô

Tính cô tổng lập ta hiệu đôi cô đôi chàng

còn tính tan tử + đôi tan (hay là: tan tổng lập tổng 2 tan)

1 trừ tan tích mẫu mang thương rầu

Nếu gặp hiệu ta chớ lo âu,

Đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng

Một cách nhớ khác của câu Tang mình + với tang ta, bằng sin 2 đứa trên cos ta cos mình… là

tangx + tangy: tình mình cộng lại tình ta, sinh ra hai đứa con mình con ta

3. Ví dụ công thức biến đổi tích thành tổng

Để làm bài tập dạng này, ta phải nắm vững công thức biến đổi tích thành tổng và áp dụng để biến đổi.

Ví dụ 1: Tính giá trị của biểu thức $\mathrm{A}=\sin \frac{13 \pi}{24} \sin \frac{5 \pi}{24}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{aligned} \mathrm{A} &=\sin \frac{13 \pi}{24} \sin \frac{5 \pi}{24} \\ &=\frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{13 \pi}{24}-\frac{5 \pi}{24}\right)-\cos \left(\frac{13 \pi}{24}+\frac{5 \pi}{24}\right)\right] \\ &=\frac{1}{2}\left(\cos \frac{\pi}{3}-\cos \frac{3 \pi}{4}\right) \\ &=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}-\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)\right)=\frac{1+\sqrt{2}}{4} \end{aligned}$

Ví dụ 2: Biến đổi thành tổng: $A=2 \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x$

Hướng dẫn giải:

$\begin{aligned} \mathrm{A} &=2 \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \sin 3 x \\ &=2 \cdot \frac{1}{2}(\cos (x-2 x)-\cos (x+2 x)) \cdot \sin 3 x \\ &=(\cos (-x)-\cos 3 x) \cdot \sin 3 x \\ &=\cos x \cdot \sin 3 x-\cos 3 x \cdot \sin 3 x \\ &=\frac{1}{2}(\sin (3 x-x)+\sin (3 x+x))-\frac{1}{2} \sin 6 x \\ &=\frac{1}{2} \sin 2 x+\frac{1}{2} \sin 4 x-\frac{1}{2} \sin 6 x \end{aligned}$

Ví dụ 3: Cho $\cos 2 \alpha=\frac{\sqrt{5}}{5}, \alpha \in\left[-\frac{\pi}{2} ; 0\right]$ . Tính $\mathrm{P}=\sin a \cdot \cos 3 \mathrm{a}+\cos ^{2} \mathrm{a}$

Hướng dẫn giải:

Ta có:

$\begin{aligned} &\sin ^{2} 2 \alpha=1-\cos ^{2} 2 \alpha=\frac{4}{5} \Rightarrow \sin 2 \alpha=\pm \frac{2}{\sqrt{5}} \\ &\text { Vì } \alpha \in\left[-\frac{\pi}{2} ; 0\right] \Rightarrow 2 \alpha \in[-\pi ; 0] \text { nên } \sin 2 \alpha<0 \end{aligned}$

Do đó $\sin 2 \alpha=-\frac{2}{\sqrt{5}}$

Ta có:

$\begin{aligned} \mathrm{P} &=\sin \alpha \cos 3 \alpha+\cos ^{2} \alpha \\ &=\frac{1}{2}(\sin (\alpha-3 \alpha)+\sin (\alpha+3 \alpha))+\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \\ &=\frac{1}{2}(\sin (-2 \alpha)+\sin 4 \alpha)+\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \\ &=\frac{1}{2}(-\sin 2 \alpha+2 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha)+\frac{1+\cos 2 \alpha}{2} \\ &=\frac{1}{2}\left(-\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)+2\left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right) \cdot \frac{\sqrt{5}}{5}\right)+\frac{1+\frac{\sqrt{5}}{5}}{2} \end{aligned}$

Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác sau:

$\begin{aligned} &\mathrm{A}=4 \sin \frac{\mathrm{x}}{3} \cdot \sin \left(\frac{\mathrm{x}+\pi}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{\mathrm{x}-\pi}{3}\right) \\ &\mathrm{B}=4 \cos \frac{\mathrm{x}}{3} \cdot \cos \left(\frac{\mathrm{x}+\pi}{3}\right) \cdot \cos \left(\frac{\mathrm{x}-\pi}{3}\right) \end{aligned}$

Hướng dẫn giải:

$\begin{aligned} \mathrm{A} &=4 \sin \frac{x}{3} \cdot \sin \left(\frac{x+\pi}{3}\right) \cdot \sin \left(\frac{x-\pi}{3}\right) \\ &=4 \cdot \sin \frac{x}{3} \cdot \frac{1}{2}\left[\cos \left(\frac{x+\pi}{3}-\frac{x-\pi}{3}\right)-\cos \left(\frac{x+\pi}{3}+\frac{x-\pi}{3}\right)\right] \\ &=2 \sin \frac{x}{3}\left(\cos \frac{2 \pi}{3}-\cos \frac{2 x}{3}\right) \\ &=2 \sin \frac{x}{3}\left(-\frac{1}{2}-\cos \frac{2 x}{3}\right) \\ &=-\frac{1}{2} \cdot 2 \sin \frac{x}{3}-2 \sin \frac{x}{3} \cos \frac{2 x}{3} \\ &=-\sin \frac{x}{3}-2 \cdot \frac{1}{2}\left(\sin \left(\frac{x}{3}-\frac{2 x}{3}\right)+\sin \left(\frac{x}{3}+\frac{2 x}{3}\right)\right) \end{aligned}$