Chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng

Chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng gồm 66 trang tổng hợp toàn bộ kiến thức về bất đẳng thức xoay vòng kèm theo ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Hi vọng qua tài liệu này giúp các bạn lớp 12 học tập chủ động, nâng cao kiến thức để đạt kết quả cao trong kì thi THPT Quốc gia sắp tới. Nội dung chi tiết chuyên đề bất đẳng thức xoay vòng bao gồm:

Chương 1: Bất đẳng thức xoay vòng (Trình bày những kết quả đã có về các bài bất đẳng thức phân thức)

Bất đẳng thức Schur và hệ quả
Bất đẳng thức xoay vòng khác trong tam giác
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy chứng minh một số dạng bất đẳng thức xoay vòng
Bất đẳng thức xoay vòng phân thức

Chương 2: Một dạng bất đẳng thức xoay vòng (Xây dựng bất đẳng thức với các trường hợp đơn giản, tổng quát bài toán)

Chương 1

Bất đẳng thức xoay vòng

1.1 Bất đẳng thức Schur

1.1.1 Bất đẳng thức Schur và hệ quả

Bài 1 (Bất đẳng thức Schur)

Với x, y, z là các số thực dương, λ là một số thực bất kì, chứng minh rằng:

$x^\lambda(x-y)(x-z)+y^\lambda(y-z)(y-x)+z^\lambda(z-x)(z-y) \geq 0$

Dấu bằng xảy ra khi và̀ chỉ khi x=y=z

Chứng minh

Chú ý rằng khỉ ơ hai biến số bằng nhau thì bất đẳng thức hiển nhiên đính Chẳng hạn khi y=z ta có $x^A(x-z)^2 \geq 0$ . Dầu { }^*={ }^" xảy ra khi x=y=z. Không má́t tính tổng quát ta có thể giả thiết rằng x>y>z

+ Xét trường hợp $\lambda \geq 0$

Bất đẳng thức ó thể viết lại dử dạng:

$(x-y)\left[x^\lambda(x-z)+y^\lambda(y-z)\right]+z^\lambda(z-x)(z-y) \geq 0$

Sử dụng điều kiện x>y ta thu được

$M>(x-y)(y-z)\left(x^\lambda-y^\lambda\right)+z^\lambda(x-z)(y-z)>0,(\forall \lambda>0)$

do đó bất đẳng thức

+ Xét trường hợp $\lambda<0$

$M=x^\lambda(x-y)(x-z)+(y-z)\left[z^\lambda(x-z)-y^\lambda(x-y)\right]$

Sử dụng điều kiện y>z (hay x-z>y-z ) ta có:

$M>x^\lambda(x-y)(x-z)+(y-z)(x-y)\left(z^\lambda-y^\lambda\right)>0,(\forall \lambda<0)$

Vậy bất đẳng thức cần được chứng minh

Bài 2 (Bất đẳng thức Schur mở rộng)

Gia sư I là mọt khoảng thuộc R và f: $\mathbb{I} \longrightarrow \mathbb{R}$ + là một hàm đơn điệu hay $f^{\prime \prime}(x) \geq 0, \forall x \in \mathbb{I}. Với x_1, x_2, x_3 \in \mathbb{I}$ , chứng minh rằng:

$f\left(x_1\right)\left(x_1-x_2\right)\left(x_1-x_3\right)+f\left(x_2\right)\left(x_2-x_3\right)\left(x_2-x_1\right)+f\left(x_3\right)\left(x_3-x_1\right)\left(x_3-x_2\right) \geq 0$