Chứng minh đẳng thức: cách chứng minh và bài tập

Chứng minh đẳng thức là một trong những dạng toán trọng tâm thường xuất hiện trong các bài kiểm tra, bài thi học kì môn Toán lớp 8, lớp 9.

Chứng minh đẳng thức tổng hợp toàn bộ kiến thức về cách chứng minh kèm theo một số ví dụ minh họa và bài tập tự luyện. Thông qua tài liệu chứng minh đẳng thức này giúp học sinh củng cố, nắm vững chắc kiến thức nền tảng, vận dụng với các bài tập cơ bản để đạt được kết quả cao trong kì thi vào lớp 10 sắp tới. Vậy sau đây là cách chứng minh đẳng thức, mời các bạn cùng theo dõi tại đây.

I. Cách chứng minh đẳng thức

Áp dụng phép nhân đơn thức với đơn thức, nhân đa thức với đơn thức và nhân đa thức với đa thức với đa thức. Chúng ta biến đổi:

+ Cách 1: Vế trái và chứng minh bằng vế phải

+ Cách 2: Vế phải và chứng minh bằng vế trái

+ Cách 3: Vế trái và vế phải cùng bằng một biểu thức.

II. Ví dụ chứng minh đẳng thức

Ví dụ 1: Chứng minh rằng: $x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a - 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }}$ với $a \geqslant \frac{1}{8}$ là số tự nhiên. ${\left( {x + y} \right)^3} = {x^3} + {y^3} + 3xy\left( {x + y} \right)$

Gợi ý đáp án

Áp dụng hằng đẳng thức:

Ta có:

$\begin{matrix} {x^3} = 2a + \left( {1 - 2a} \right)x \hfill \\ \Leftrightarrow {x^3} + \left( {2a - 1} \right)x - 2a = 0 \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2a} \right) = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Xét đa thức bậc hai ${x^2} + x + 2a$ có $\Delta = 1 - 8a \geqslant 0$

Khi $a = \frac{1}{8}$ ta có: $x = \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} + \sqrt[3]{{\frac{1}{8}}} = 1$

Khi $a > \frac{1}{8}$ ta có: $\Delta = 1 - 8a < 0$ nên đa thức có nghiệm duy nhất x = 1

Vậy với $a \geqslant \frac{1}{8}$ mọi ta có $x = \sqrt[3]{{a + \frac{{a + 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} + \sqrt[3]{{a - \frac{{a - 1}}{3}.\sqrt {\frac{{8a - 1}}{3}} }} = 1$ là số tự nhiên.

Ví dụ 2: Biết rằng $\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {y + \sqrt {{y^2} + 2015} } \right) = 2015$ . Tính tổng x + y.

Gợi ý đáp án

Ta có: $\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right)\left( {x + \sqrt {{x^2} + 2015} } \right) = {x^2} + 2015 - {x^2} = 2015$

Kết hợp với giả thiết ta suy ra:

$\begin{matrix} \sqrt {{x^2} + 2015} - x = \sqrt {{y^2} + 2015} + y \hfill \\ \Rightarrow \sqrt {{y^2} + 2015} + y + \sqrt {{x^2} + 2015} + x = \sqrt {{x^2} + 2015} - x + \sqrt {{y^2} + 2015} - y \hfill \\ \Leftrightarrow x + y = 0 \hfill \\ \end{matrix}$

Vậy tổng x + y = 0

Ví dụ 3: Chứng minh rằng: $\frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} > 4$

Gợi ý đáp án

Xét các biểu thức:

$\begin{matrix} A = \dfrac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} \hfill \\ B = \dfrac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .... + \dfrac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }} \hfill \\ \end{matrix}$

Dễ thấy A > B

Ta có:

$A + B = \frac{1}{{\sqrt 1 + \sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 + \sqrt 4 }} + ....$

$+ \frac{1}{{\sqrt {79} + \sqrt {80} }} + \frac{1}{{\sqrt 2 + \sqrt 3 }} + \frac{1}{{\sqrt 4 + \sqrt 5 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt {80} + \sqrt {81} }}$

Mặt khác ta có:

$\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt {a + 1} }} = \frac{{\sqrt {a + 1} - \sqrt a }}{{\left( {\sqrt {a + 1} + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt {a + 1} - \sqrt a } \right)}} = \sqrt {a + 1} - \sqrt a$

Suy ra $A + B = \left( {\sqrt 2 - \sqrt 1 } \right) + \left( {\sqrt 3 - \sqrt 2 } \right) + ... + \left( {\sqrt {81} - \sqrt {80} } \right) = \sqrt {81} - 1 = 8$

=> A > B

=> 2A > A + B = 8

=> A > 4

III. Bài tập chứng minh đẳng thức

Bài 1: Chứng minh rằng

$\frac{1}{{1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{2\sqrt 3 }} + \frac{1}{{3\sqrt 4 }} + ... + \frac{1}{{n\sqrt {n + 1} }} > 2\left( {1 - \frac{1}{{\sqrt {n + 1} }}} \right)$

Bài 2: Chứng minh rằng

$2\sqrt n - 2 < \frac{1}{{\sqrt 1 }} + \frac{1}{{\sqrt 2 }} + \frac{1}{{\sqrt 3 }} + .... + \frac{1}{{\sqrt n }} < 2\sqrt n - 1$ với mọi số nguyên dương $n \geqslant 2$

Bài 3: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n > 3 ta có:

$\frac{1}{{{1^3}}} + \frac{1}{{{2^3}}} + \frac{1}{{{3^3}}} + .... + \frac{1}{{{n^3}}} < \frac{{65}}{{54}}$

Bài 4: Chứng minh rằng

$\frac{{43}}{{44}} < \frac{1}{{2\sqrt 1 + 1\sqrt 2 }} + \frac{1}{{3\sqrt 2 + 2\sqrt 3 }} + ... + \frac{1}{{2002\sqrt {2001} + 2001\sqrt {2002} }} < \frac{{44}}{{45}}$