Các dạng Toán thường gặp trong kỳ thi THPTQG

Các dạng toán thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia 2023 giúp các em học sinh làm quen với các dạng bài hay gặp trong đề thi, thử sức với các câu hỏi khó giành điểm 9 – 10 và có chiến lược thời gian làm bài thi phù hợp nhất.

Các dạng Toán thi THPT Quốc gia bao gồm các dạng bài tính đơn điệu của hàm số, cực trị của hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số ... . Tài liệu được biên soạn theo mức độ khó và nâng cao dần giúp những em lớp 12 rèn luyện tư duy, hệ thống kiến thức bao quát những dạng toán thường gặp. Ngoài ra các em xem thêm 40 đề ôn thi THPT Quốc gia môn Toán.

Các dạng Toán thường gặp trong đề thi THPT Quốc gia

1. Tính đơn điệu của hàm số

1.1 (Đề minh họa 2016). Hỏi hàm số $y=2 x^4+1$ đồng biến trên khoảng nào?

$A. (-\infty ; 0).$

$B. (0 ;+\infty).$

$C. \left(-\infty ;-\frac{1}{2}\right).$

$D. \left(-\frac{1}{2} ;+\infty\right).$

Lời giải

Ta có $y^{\prime}=8 x^3 ; y^{\prime}=0 \Leftrightarrow x=0$ . Bảng biến thiên

Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên $(0 ;+\infty)$ . Chọn phương án B.

1.2 (Đề chính thức 2017). Cho hàm số $y=x^3+3 x+2$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty).$

B. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ; 0)$ và nghịch biến trên khoảng $(0 ;+\infty).$

C. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ; 0)$ và đồng biến trên khoảng $(0 ;+\infty).$

D. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty).$

Lời giải

Ta có $y^{\prime}=3 x^2+3>0, \forall x \in(-\infty ;+\infty) n$ nên hàm số đồng biến trên $(-\infty ;+\infty).$

Chọn phương án D

1.3 (Đề tham khảo 2017). Cho hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số đồng biến trên khoảng (-\infty ;-1).

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1 ;+\infty).$

C. Hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty).$

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-1).$

Lời giải

Ta có $y^{\prime}=\frac{3}{(x+1)^2}>0, \forall x \in \mathbb{R} \backslash\{-1\}$ nên hàm số đồng biến trên khoảng $(-\infty ;-1)$ .

Chọn phương án A

1.4 (Đề thử nghiệm 2017). Cho hàm số $y=x^3-2 x^2+x+1$ . Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3} ; 1\right)$ .

B. Hàm số nghịch biến trên khoảng $(1 ;+\infty).$

A. Hàm số đồng biến trên khoảng $\left(\frac{1}{3} ; 1\right)$ .

D. Hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-1 ;\frac{1}{3} \right)$ .

Lời giải ; Đáp án D

........

4. Điều kiện đơn điệu của hàm số $y=a x^3+b x^2+c x+d$

1.19 (Đề tham khảo 2020). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m sao cho hàm số $f(x)= \frac{1}{3} x^3+m x^2+4 x+3$ đồng biến trên R

A. 3 .
B. 5 .
C. 2 .
D. 4 .

Lời giải

Ta có $y^{\prime}=x^2+2 m x+4 ; \Delta^{\prime}=m^2-4.$

Hàm số đã cho đồng biến trên R khi và chỉ khi

$\left\{\begin{array} { l } { a > 0 } \\ { \Delta ^ { \prime } \leqslant 0 } \end{array} \Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l} 1>0 \\ m^2-4 \leqslant 0 \end{array} \Leftrightarrow-2 \leqslant m \leqslant 2 .\right.\right.$
Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên $m \in\{-2,-1,0,1,2\}.$

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán. Chọn phương án B

1.20 (Đề chính thức 2017). Cho hàm số $y=-x^3-m x^2+(4 m+9) x+5$ với m là tham số. Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty) ?$

A. 7 .
B. 4 .
C. 6 .
D. 5 .

Lời giải

Ta có $y^{\prime}=-3 x^2-2 m x+4 m+9 ; \Delta^{\prime}=m^2+3(4 m+9)=m^2+12 m+27.$

Hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;+\infty)$ khi và chỉ khi $\Delta^{\prime} \leqslant 0 \Leftrightarrow m^2+12 m+27 \leqslant 0 \Leftrightarrow-9 \leqslant m \leqslant-3.$

Suy ra có 7 giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;+\infty).$

Chọn phương án A

1.21 (Đề tham khảo 2017). Hỏi có bao nhiêu số nguyên m để hàm số $y=\left(m^2-1\right) x^3+(m-1) x^2- x+4$ nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;+\infty) ?$

A. 3 .
B. 2 .
C. 1 .
D. 0 .

Lời giải.

TH1: m=1 ta có y=-x+4 nên nghịch biến trên $(-\infty ;+\infty)$ (thỏa mãn ycbt).

TH2: m=-1 ta có $y=-2 x^2-x+4$ có đồ thị là parabol nên không thể nghịch biến trên $(-\infty ;+\infty)$ (không thỏa mãn ycbt).

TH3: $m \neq \pm 1 ta có y^{\prime}=3\left(m^2-1\right) x^2+2(m-1) x-1$ . Do đó nếu hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;+\infty) thì m^2-1<0$ . Vì $m \in \mathbb{Z}$ nên m=0. Với m=0 ta có $y^{\prime}=-3 x^2-2 x-1$ có $\Delta^{\prime}=1-3=-2<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;+\infty)$ (thỏa mãn ycbt).