Các dạng bài tập Toán đại số lớp 9

Các dạng Toán Đại số lớp 9 là tài liệu vô cùng hữu ích cung cấp cho các em học sinh tài liệu tham khảo, học tập, bồi dưỡng và nâng cao kiến thức môn toán theo chương trình hiện hành.

Các dạng toán Đại số 9 tổng hợp toàn bộ công thức về căn bậc hai – căn bậc ba, hàm số bậc nhất, hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn ví dụ minh họa kèm theo các bài tập có đáp án và lời giải chi tiết. Hi vọng qua tài liệu này các em sẽ vận dụng kiến thức của mình để làm bài tập, rèn luyện linh hoạt cách giải các dạng đề để đạt kết quả cao trong các bài kiểm tra, bài thi học sinh giỏi. Bên cạnh đó các bạn xem thêm tài liệu chuyên đề Giải phương trình bậc 2 chứa tham số, bài tập hệ thức Vi-et và các ứng dụng. Nội dung chi tiết tài liệu bao gồm các chương:

Chương I. Căn bậc hai – căn bậc ba
Chương II. Hàm số bậc nhất
Chương III. Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
Chương IV. Hàm số y = ax² (a ≠ 0). Phương trình bậc hai một ẩn

Tổng hợp các dạng bài tập Đại số lớp 9

Chương I. Căn bậc hai - Căn bậc ba

1. Căn bậc hai số học

- Căn bậc hai của một số không âm a là số x sao cho x²= a

- Số dương a có đúng hai căn bậc hai là hai số đối nhau: Số dương kí hiệu là $\sqrt{a}$ . Số âm ký hiệu là $-\sqrt{a}$

- Số 0 có đúng một căn bậc hai là chính số 0, ta viết $\sqrt{0} = 0$

- Với số dương a, số $\sqrt{a}$ là căn bậc hai số học của a. Số 0 cũng là căn bậc hai số học của 0

Với hai số không âm a, b, ta có: a, b, ta có: a < b suy ra $\sqrt{a}$ bé hơn $\sqrt{b}$

2. Căn thức bậc hai

Với A là một biểu thức đại số, ta gọi $\sqrt{a}$ là căn thức bậc hai của A.

$\sqrt{a}$ xác định (hay có nghĩa) khi A lấy giá trị không âm

$\cdot \sqrt{A^{2}}=|A|=\left\{\begin{array}{ll}A & n \hat{e}^{\prime} u A \geq 0 \\ -A & n \hat{e}^{\prime} u A<0\end{array}\right.$

Dạng 1: Tìm điều kiện để $\sqrt{A}$ có nghĩa

$\cdot \sqrt{A}$ có nghĩa $\Leftrightarrow A \geq 0$

$\cdot \sqrt{\frac{1}{A}}$ có nghĩa $\Leftrightarrow A>0$

$\frac{f(x)}{g(x)}$ có nghĩa khi $g(x) \neq 0 \cdot \sqrt{\frac{f(x)}{g(x)}}$ có nghĩa khi $\frac{f(x)}{g(x)} \geq 0$ và $g(x) \neq 0$

Chú ý: Nếu bài yêu cầu tìm TXĐ thì sau khi tìm được điều kiện x, các em biểu diễn dưới dạng tập hợp

$|f(x)| \geq a$ thì $f(x) \geq a$ hoặc $f(x) \leq-a$

Bài 1. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

$a. \sqrt{-3 x}$

$b.\sqrt{4-2 x}$

$c) \sqrt{-3 x+2}$ d) $\sqrt{3 x+1}$

$d)\sqrt{3 x+1}$

$e) \sqrt{9 x-2}$

$f) \sqrt{6 x-1}$

Bài 2. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

$a) \frac{x}{x+2}+\sqrt{x-2}$

$b) \frac{x}{x^{2}-4}+\sqrt{x-2}$

$c) \sqrt{\frac{1}{3-2 x}}$

$d) \sqrt{\frac{4}{2 x+3}}$

Bài 3. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa:

$a) \sqrt{x^{2}+1}$

$b) \sqrt{4 x^{2}+3}$

$c) \sqrt{9 x^{2}-6 x+1}$

$d) \sqrt{-x^{2}+2 x-1}$

$e) \sqrt{-|x+5|}$

$f) \sqrt{-2 x^{2}-1}$

Bài 4. Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

$a) \sqrt{4-x^{2}}$

$b)\sqrt{x^{2}-16}$

$c) \sqrt{x^{2}-3}$

$d) \sqrt{x^{2}-2 x-3}$

$e) \sqrt{x(x+2)}$

$f)\sqrt{x^{2}-5 x+6}$

Bài 5: Với giá trị nào của x thì mỗi căn thức sau có nghĩa

$a) \sqrt{|x|-1}$

$b)\sqrt{|x-1|-3}$

$c) \sqrt{4-|x|}$

$d) \sqrt{x-2 \sqrt{x-1}}$

$e) \frac{1}{\sqrt{9-12 x+4 x^{2}}}$

$f)\frac{1}{\sqrt{x+2 \sqrt{x-1}}}$

Dạng 2: Tính giá trị biểu thức

Phương pháp: Các em dùng hằng đẳng thức 1 và 2 trong 7 hằng đẳng thức, biến đổi biểu thức
trong căn đưa về dạng $\sqrt{A^{2}}$ rồi áp dụng công thức:

$\sqrt{A^{2}}=|A|=\left\{\begin{array}{ll}A & \text { nếu } A \geq 0 \\ -A & \text { nếu } A<0\end{array}\right.$

Bài 1. Thực hiện các phép tính sau:

$a) -0,8 \sqrt{(-0,125)^{2}}$

$b) \sqrt{(-2)^{6}}$

$c) \sqrt{(\sqrt{3}-2)^{2}}$

$d) \sqrt{(2 \sqrt{2}-3)^{2}}$

$e) \sqrt{\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\right)^{2}}$

$f) \sqrt{(0,1-\sqrt{0,1})^{2}}$

Bài 2: Thực hiện các phép tính sau:

$a) \sqrt{(3-2 \sqrt{2})^{2}}+\sqrt{(3+2 \sqrt{2})^{2}}$

$b) \sqrt{(5-2 \sqrt{6})^{2}}-\sqrt{(5+2 \sqrt{6})^{2}}$

Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:

$a) \sqrt{5+2 \sqrt{6}}-\sqrt{5-2 \sqrt{6}}$

$b) \sqrt{7-2 \sqrt{10}}-\sqrt{7+2 \sqrt{10}}$

$= c) \sqrt{4-2 \sqrt{3}}+\sqrt{4+2 \sqrt{3}}$

$d) \sqrt{24+8 \sqrt{5}}+\sqrt{9-4 \sqrt{5}}$

$e) \sqrt{17-12 \sqrt{2}}+\sqrt{9+4 \sqrt{2}}$

$f) \sqrt{6-4 \sqrt{2}}+\sqrt{22-12 \sqrt{2}}$

Bài 4. Thực hiện các phép tính sau:

$a) \sqrt{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{29-12 \sqrt{5}}}}$

$b) \sqrt{13+30 \sqrt{2+\sqrt{9+4 \sqrt{2}}}}$

$c) (\sqrt{3}-\sqrt{2}) \sqrt{5+2 \sqrt{6}}$

$d) \sqrt{5-\sqrt{13+4 \sqrt{3}}}+\sqrt{3+\sqrt{13+4 \sqrt{3}}}$

$e) \sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{13+4 \sqrt{3}}}}+\sqrt{1-\sqrt{3-\sqrt{13-4 \sqrt{3}}}}$

Dạng 3: So sánh căn bậc 2

Phương pháp:

So sánh với số ) .

- Bình phương hai vế.

- Đưa vào ngoài dấu căn.

- Dựa vào tính chất: nếu a>b $\geq$ 0 thì $\sqrt{a}>\sqrt{b}$

Bài 1: $\sqrt{22}$ và $\sqrt{27}$ ; 11 và $\sqrt{121}$ ; 7 và $\sqrt{50}$ ; 6 và $\sqrt{33}$ ;

Bài 2:

a) 2 và $\sqrt{147}$

b) $-3 \sqrt{5} và -5 \sqrt{3}$

c) $21,2 \sqrt{7}, 15 \sqrt{3},-\sqrt{123}$

d) $2 \sqrt{15}$ và $\sqrt{59}$

e) $2 \sqrt{2}-1$ và 2

f) 6 và $\sqrt{41}$

g) $\frac{\sqrt{3}}{2}$ và 1

h) $-\frac{\sqrt{10}}{2}$ và $-2 \sqrt{5}$

i) $\sqrt{6}-1$ và $3 \mathrm{j}) 2 \sqrt{5}-5 \sqrt{2}$ và 1

k) $\frac{\sqrt{8}}{3} và \frac{3}{4}$

Dạng 4: Rút gọn biểu thức

Phương pháp: Các em dùng hằng đẳng thức 1 và 2 trong $\gamma$ hằng đẳng thức, biến đổi biểu thức trong căn đưa về dạng $\sqrt{A^{2}}$ rồi áp dụng công thức:

$\sqrt{A^{2}}=|A|=\left\{\begin{array}{ll} A & \text { nếu } A \geq 0 \\ -A & \text { nếu } A<0 \end{array}\right.$
Chú ý: Xét các trường hợp $A \geq 0$ , A<0 để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.

Bài 1. Rút gọn các biểu thức sau:

$a) x+3+\sqrt{x^{2}-6 x+9} \quad(x \leq 3)$

$b) \sqrt{x^{2}+4 x+4}-\sqrt{x^{2}} \quad(-2 \leq x \leq 0)$

$c) \frac{\sqrt{x^{2}-2 x+1}}{x-1}(x>1)$

$d) |x-2|+\frac{\sqrt{x^{2}-4 x+4}}{x-2}(x<2)$

Bài 2. * Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\left.\left.\mathrm{A}=\sqrt{1-4 a+4 a^{2}}-2 a \mathrm{~b}\right) \mathrm{B}=x-2 y- \sqrt{x^{2}-4 x y+4 y^{2}} \mathrm{c}\right) \mathrm{C}=x^{2}+\sqrt{x^{4}-8 x^{2}+16}$

$d) \mathrm{D}=2 x-1-\frac{\sqrt{x^{2}-10 x+25}}{x-5}$

$e) E=\frac{\sqrt{x^{4}-4 x^{2}+4}}{x^{2}-2} f ) F=\sqrt{(x-4)^{2}}+\frac{x-4}{\sqrt{x^{2}-8 x+16}}$

Bài 3. Cho biểu thức $A=\sqrt{x^{2}+2 \sqrt{x^{2}-1}}-\sqrt{x^{2}-2 \sqrt{x^{2}-1}}.$

a) Với giá trị nào của x thì A có nghĩa?

b) Tính A nếu $x \geq \sqrt{2}$

Bài 4. Cho 3 số dương x, y, z thoả điều kiện: x y+y z+z x=1. Tính:

$A=x \sqrt{\frac{\left(1+y^{2}\right)\left(1+z^{2}\right)}{1+x^{2}}}+y \sqrt{\frac{\left(1+z^{2}\right)\left(1+x^{2}\right)}{1+y^{2}}}+z \sqrt{\frac{\left(1+x^{2}\right)\left(1+y^{2}\right)}{1+z^{2}}}$

Dạng 5: Giải phương trình

Phương pháp:

$- A^{2}=B^{2} \Leftrightarrow A=\pm B ; \quad \cdot \sqrt{A}+\sqrt{B}=0 \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A=0 \\ B=0\end{array}\right.$

$- \sqrt{A}=\sqrt{B} \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0(\text { hay } B \geq 0) \\ A=B\end{array} \quad \cdot \sqrt{A}=B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A=B^{2}\end{array}\right.\right.$

$\cdot|A|=B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}A \geq 0 \\ A=B\end{array}\right. hay \left\{\begin{array}{l}A<0 \\ A=-B\end{array} \quad \quad|A|=B \Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}B \geq 0 \\ A=B \text { hay } A=-B\end{array}\right.\right.$