Bài 16:

b)

Ta sẽ chứng minh:`p^2\equiv1(mod8)(p=2k+1,k in ZZ)`

Xét hiệu:

`p^2-1=(p-1)(p+1)=(2k+1-1)(2k+1+1)=4k(k+1)`

Ta có:`k(k+1)\vdots2`(tích hai số nguyên liên tiếp)

`⇒p^2-1=4k(k+1)\vdots8`

`⇒p^2\equiv1(mod8)(đpcm)`

Số số hạng của `A` là:

`(2023-1):2+1=1012`(số)

Ta có:

`{(1^2\equiv1(mod8)),(3^2\equiv1(mod8)),(5^2\equiv1(mod8)),(......),(2023^2\equiv1(mod8)):}`(theo bổ đề)

`⇒A\equiv\underbrace{1+1+1+....+1}_{1012 \text{số}}\equiv1012\equiv4(mod8)`

Vậy `A` chia `8` dư `4`

Bài 18:

a)

`A=2n^2+n-3=(n-1)(2n+3)((n-1;2n+3)=1)`

Để `A` là số nguyên tố `⇒{(n-1=1),(2n+3\text{là số nguyên tố}):}(n in NN⇒n-1<2n+3)`

`⇒n=2`.Khi đó `2n+3=7` là số nguyên tố.

Vậy `n=2` thì `A` là số nguyên tố

Đáp án`+`Giải thích các bước giải:

`16,`

`b,` Ta có: `p^2 \equiv 1 (mod 8) (AAk = 2k + 1;K \in ZZ)`

`=> p^2 -1 = (2k + 1)^2 -  1 = (2k +1 + 1)(2k + 1 -1) = 2k(2k + 2) = 4k(k + 1)`

Vì `k(k + 1) \vdots 2` (tích hai số nguyên liên tiếp)

`=> 4k(k + 1) \vdots 8`

`=> p^2 -1 \vdots 8`

Lại có: `{(1^2 \equiv 1 (mod 8)),(3^2 \equiv 1 (mod 8)),(5^2 \equiv 1 (mod 8)),(....),(2023^2 \equiv 1 (mod 8)):}`

`=> A \equiv 1 +1 + 1 + ... +1 (mod 8)` (có `1012` số hạng `1`)

`=> A \equiv 1012 (mod 8)`

Mà `1012 \equiv 4 (mod 8)`

`=> A \equiv 4 (mod 8)`

Vậy `A` chia cho `8` dư `4`

`18,`

`a,` Ta có: `A=  2n^2 + n -3`

`=> A = 2n^2 - 2n + 3n - 3`

`=> A = 2n(n - 1) + 3(n -1)`

`=> A=  (n - 1)(2n + 3)`

Với mọi `n \in NN` thì `n -1 < 2n + 3`

Để `A` là số nguyên tố thì:

`{(n -1 = 1),(2n +3   \text{là số nguyên tố})):}`

`=> {(n  = 2),(2.2 + 3 = 4 +3 = 7  (\text{tm})):}`

Vậy `n = 2` thì `A` là số nguyên tố

`***`sharksosad