Đáp án:

a) \(\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {m/{s^2}} \right)\)

b) \(\dfrac{{18\sqrt 3 }}{5}\left( m \right)\)

c) \(\alpha  = {45^o}\)

Giải thích các bước giải:

a) Xét theo phương thẳng đứng: 

\(\begin{array}{l}
N + F\sin \alpha  = P\\
 \Rightarrow N + 4\sqrt 3 .\sin 60 = 10\\
 \Rightarrow N = 4N
\end{array}\)

Xét theo phương ngang:

\(\begin{array}{l}
F\cos \alpha  - {F_{ms}} = ma\\
 \Rightarrow 4\sqrt 3 \cos 60 - N\mu  = ma\\
 \Rightarrow 2\sqrt 3  - 4.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = 1.a\\
 \Rightarrow a = \dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}\left( {m/{s^2}} \right)
\end{array}\)

b) Quãng đường vật đi trong 3s đầu là:

\({s_1} = \dfrac{1}{2}at_1^2 = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}{.3^2} = 3\sqrt 3 \left( m \right)\)

Gia tốc sau khi ngừng tác dụng lực là:

\(a' = \dfrac{{ - mg\mu }}{m} =  - g\mu  =  - 10.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} =  - \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}\left( {m/{s^2}} \right)\)

Quãng đường vật đi đến khi dừng lại là:

\({s_2} = {s_1} + \dfrac{{{0^2} - {{\left( {a{t_1}} \right)}^2}}}{{2a'}} = 3\sqrt 3  + \dfrac{{ - {{\left( {\dfrac{{2\sqrt 3 }}{3}.3} \right)}^2}}}{{ - 2.\dfrac{{10\sqrt 3 }}{3}}} = \dfrac{{18\sqrt 3 }}{5}\left( m \right)\)

c) Xét theo phương thẳng đứng: 

\(\begin{array}{l}
F\cos \alpha  - {F_{ms}} = ma\\
 \Rightarrow F\cos \alpha  - \left( {10 - F\sin \alpha } \right).\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = 0\\
 \Rightarrow F\cos \alpha  - \dfrac{{10\sqrt 3 }}{3} + F\sin \alpha  = 0\\
 \Rightarrow F = \dfrac{{10\sqrt 3 }}{{3\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)}}
\end{array}\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki:

\(\begin{array}{l}
{\left( {\sin \alpha  + \cos \alpha } \right)^2} \le \left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}\alpha  + {{\cos }^2}\alpha } \right) = 2\\
 \Rightarrow \sin \alpha  + \cos \alpha  \le \sqrt 2 \\
 \Rightarrow F \ge \dfrac{{10\sqrt 3 }}{{3\sqrt 2 }} = \dfrac{{10}}{{\sqrt 6 }}\left( N \right)
\end{array}\)

Dấu = xảy ra khi: 

\(\sin \alpha  = \cos \alpha  \Rightarrow \alpha  = {45^o}\)