`a)`

Ta có: `ABCD` là hình bình hành

$⇒ AB // CD$ và $AB = CD$

$⇒ AE // DF (1)$ (vì `E in AB; F in CD`)

Lại có:

`E` là trung điểm `AB` `=> AE = 1/2 AB`

`F` là trung điểm `CD` `=> AF = 1/2 CD= 1/2 AB`

`=> AE = AF (2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra:

Tứ giác `ADEF` là hình bình hành

Vậy tứ giác `ADEF` là hình bình hành
`b)`

Ta có:

`E` là trung điểm `AB`

`=> BE = 1/2 AB`

Mà `AF = 1/2 AB` (câu `a`)

`=> BE = AF (1)`

Lại có: `ABCD` là hình bình hành

$⇒ AB // CD$

$⇒ BE // DF (2)$ (vì `E in AB; F in CD`)

Từ `(1)` và `(2)` suy ra:

Tứ giác `BEDF` là hình bình hành

$⇒ DE // BF$

Vậy $DE // BF$

`c)`

Ta có:

`ABCD` là hình bình hành

`=> AC` cắt `BD` tại trung điểm của `AC` và `BD`

Gọi trung điểm của `BD` là `O`

`=> AC` cắt `BD` tại `O`

Lại có:

`BEDF` là hình bình hành

`=> EF` cắt `BD` tại trung điểm của `EF` và `BD`

`=> EF` cắt `BD` tại `O`

Suy ra:

`EF, BD, AC` đồng quy tại một điểm

Vậy `EF, BD, AC` đồng quy tại một điểm

`d)`

Ta có:

$DE // BF$

$⇒ EI // BK$ và $KF // ID$

Mà `E` là trung điểm `AB`

      `F` là trung điểm `CD`

`=> EI` là đường trung bình `ΔABK`

     `KF` là đường trung bình `ΔCID`

`=> I` là trung điểm của `AK => AI = IK`

      `K` là trung điểm của `IC => IK = KC`

Suy ra:

`AI = IK = KC`

Vậy `AI = IK = KC`