Đáp án + Giải thích các bước giải:

Xét $\Delta A'B'D'$ và $\Delta C'D'B'$, ta có:
$\begin {cases} A'B' = C'D' \\ A'D' = B'C' \\ B'D'\text{ chung} \end {cases}$
$\Rightarrow \Delta A'B'D' = \Delta C'D'B'(c - c - c)$
$\Rightarrow S_{\Delta A'B'D'} = S_{\Delta C'D'B'}(1)$

Ta có: $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp

$\Rightarrow (ABCD) // (A'B'C'D')$

$\Rightarrow d(A, (A'B'D')) = d(C,(C'B'D'))(2)$

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow V_{ABD.A'B'D'} = V_{CDB.C'D'B'}$

Mà $V = V_{ABD.A'B'D'} + V_{CDB.C'D'B'}$

$\Rightarrow V_{ABD.A'B'D'} = V_{CDB.C'D'B'} = \dfrac{V}{2}$
Mà tứ diện $CB'C'D'$ chung đáy và đường cao với $CDB.C'D'B'$, tứ diện $AB'A'D'$ chung đáy và đường cao với $ABD.A'B'D'$

$\Rightarrow V_{CB'C'D'} = V_{AB'A'D'} = \dfrac{\frac{V}{2}}{3} = \dfrac{V}{6}$

Xét $\Delta ABC$ và $\Delta CDA$, ta có:
$\begin {cases} AB = CD \\ AD = BC \\ AC \text{ chung} \end {cases}$
$\Rightarrow \Delta ABC = \Delta CDA(c - c - c)$
$\Rightarrow S_{\Delta ABC} = S_{\Delta CDA}(3)$

Ta có: $(ABCD) // (A'B'C'D')(cmt)$

$\Rightarrow d(A', (ABC)) = d(C', (CDA))(4)$

Từ $(3)$ và $(4) \Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{CDA.C'D'A'}$

Mà $V = V_{ABC.A'B'C'} + V_{CDA.C'D'A'}$

$\Rightarrow V_{ABC.A'B'C'} = V_{CDA.C'D'A'} = \dfrac{V}{2}$
Mà tứ diện $B'ABC$ chung đáy và đường cao với $ABC.A'B'C'$, tứ diện $D'CDA$ chung đáy và đường cao với $CDA.C'D'A'$

$\Rightarrow V_{B'ABC} = V_{D'CDA} = \dfrac{\frac{V}{2}}{3} = \dfrac{V}{6}$

$\Rightarrow V_{ACB'D'} = V - V_{CB'C'D'} - V_{AB'A'D'} - V_{B'ABC} - V_{D'CDA} = V - \dfrac{4V}{6} = \dfrac{V}{3}$

$\text{____________________________}$

Thể tích của một tứ diện sẽ bằng $\dfrac{1}{3}$ thể tích của một lăng trụ chung đáy và đường cao:
$V_{lt} = S_{\text{đáy lt}} . h_{lt}$
$V_{td} = \dfrac{1}{3}S_{\text{đáy td}} . h_{td}$

Do 2 hình có chung đáy nên các $S_{\text{đáy lt}} = S_{\text{đáy td}}$, $h_{lt} = h_{td}$

$\Rightarrow V_{td} = \dfrac{1}{3}S_{\text{đáy lt}} . h_{lt} = \dfrac{1}{3}V_{lt}$