Đáp án:

a) Xét tam giác $\Delta ABH$ ta có: 

$M$ là trung điểm của $AH$ (giả thiết).

$N$ là trung điểm của $BH$ (giả thiết).

$\Rightarrow MN$ là đường trung bình của $\Delta ABH$
$\Rightarrow MN=\dfrac12AB=CP$ và $MN//AB//CP$.
Xét tứ giác $MNCP$ ta có:

$MN=CP$ (chứng minh trên).

$MN//CP$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow MNCP$ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có $MNCP$ là hình bình hành $\Rightarrow MN//CD$.

Mà $CD\,\bot\,BC$ do tính chất hình chữ nhật $\Rightarrow MN\,\bot\,BC$.

$\Rightarrow MN$ là đường cao của $\Delta BCM$

$BH\,\bot\,MC\Rightarrow BH$ là đường cao của $\Delta BCM$.

Mà $BH\cap MN=N\Rightarrow N$ là trực tâm của $\Delta BCM$.

$\Rightarrow NC$ là đường cao của $\Delta BCM\Rightarrow NC\,\bot\,BM$.

Mà $NC//MP$ ($MNCP$ là hình bình hành) $\Rightarrow MP\,\bot\,BM$.

c) Hình bình hành $MNCP$ có hai đường chéo giao tại $J$

$\Rightarrow J$ là trung điểm của đoạn thẳng $NP$.

Xét tam giác $\Delta BNP$ ta có:

$I$ là trung điểm của $BP$ (giả thiết).

$J$ là trung điểm của $NP$ (chứng minh trên).

$\Rightarrow IJ$ là đường trung bình của $\Delta BNP$

$\Rightarrow IJ$ song song với đường thẳng $HN$.