TH1: `n=1` `=>` `2^n+12^n+2011^n=2025=45^2` `=>` Thỏa mãn

Ta có: `12 \ vdots \ 3` `=>` `12^n \ vdots \ 3 \ forall \ n in NN^**`

Ta có: `2011` chia `3` dư `1` `=>` `2011^n` chia `3` dư `1` với mọi `n in NN^**`

TH2: `n` chẵn `=>` `2^n` chia `3` dư `1`

`=>` `2^n+12^n+2011^n` chia `3` dư `2`

Mà một số chính phương không bao giờ chia `3` dư `2`

`=>` Loại

TH3: `n` lẻ và `n > 1` `=>` `n` chia `4` dư `3` hoặc `n` chia `4` dư `1`

`+)` Với `n` chia `4` dư `1` và `n > 1`

`=>` `2^n` và `12^n` đều chia `5` dư `1`

Thêm vào đó, `2011^n` cũng chia `5` dư `1`

`=>` `2^n+12^n+2011^n` chia `5` dư `3`

Mà một số chính phương không bao giờ chia `5` dư `3`

`=>` Loại

`+)` Với `n` chia `4` dư `3`

`=>` `2^n` và `12^n` đều có chữ số tận cùng là `8`

Thêm vào đó, `2011^n` luôn có chữ số tận cùng là `1`

`=>` `2^n+12^n+2011^n` có chữ số tận cùng là `7`

Mà một số chính phương không bao giờ tận cùng là `7`

`=>` Loại

Vậy `n=1` thỏa mãn đề bài