Giải thích các bước giải:

a.Vì $AB$ là đường kính của $(O)\to\widehat{ACB}=90^o\to \Delta ABC$ vuông tại $C$

$\to BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=8$

$\to \tan\widehat{CAB}=\dfrac{BC}{CA}=\dfrac34$

$\to\widehat{CAB}=\arctan\dfrac34$

b.Vì $MB, CM$ là tiếp tuyến của $(O)\to MB\perp OB, MC\perp OC, MO\perp BC$

$\to \widehat{MCO}=\widehat{MBO}=90^o$

$\to M, B, O, C\in$ đường tròn đường kính $OM$

c.Xét $\Delta IAC,\Delta IBD$ có:

$\widehat{ICA}=\widehat{ACB}=\widehat{ADB}=\widehat{IDB}$

$\widehat{AIC}=\widehat{BID}$

$\to\Delta IAC\sim\Delta IBD(g.g)$

$\to \dfrac{IA}{IB}=\dfrac{IC}{ID}$

$\to IA\cdot ID=IB\cdot IC=IC^2=IO\cdot IM$

d.Gọi $E$ là trung điểm $IB$

$\to KE, OE$ là đường trung bình $\Delta IBM,\Delta IAB$

$\to KE//MB, OE//AI$

Mà $BM\perp OB\to KE\perp OB$

Do $OM\perp CB\to BE\perp KO$

$\to E$ là trực tâm $\Delta KOB$

$\to OE\perp KB$

$\to AI\perp BK$

$\to AD\perp BK$

Mà $\widehat{ADB}=90^o\to AD\perp BD$

$\to B, D, K$ thẳng hàng