Đáp án:

$a)$ Đặt điện tích `Q` nằm trên đoạn thẳng nối hai điện tích `q` và `4Q` sao cho khoảng cách từ `Q` đến điện tích `4q` gấp `2` lần khoảng cách từ `Q` đến điện tích `q`, và không phụ thuộc vào dấu và độ lớn của điện tích `Q`.

$b)$ Điện tích `Q = - 4/9 q` và nằm trên đoạn thẳng nối hai điện tích `q` và `4Q` sao cho khoảng cách từ `Q` đến điện tích `4q` gấp `2` lần khoảng cách từ `Q` đến điện tích `q`.

Giải thích các bước giải:

$a)$

Khi hai điện `q` và `4q` được giữ cố định, cần tìm điều kiện của `Q` để `Q` cân bằng.

Lực điện do điện tích `q, 4q` tác dụng lên `Q` lần lượt là:

        `F_1 = [k|qQ|]/[r_1^2] `

        `F_2 = [k|4qQ|]/[r_2^2] `

Để `Q` cần bằng thì:

        `vecF_1 + vecF_2 = vec0`

`<=> vecF_1 = - vecF_2`

Do `q` và `4q` cùng dấu nên `Q` phải đặt nằm trên đoạn thẳng nối hai điện tích `q` và `4q`.

Ta có:

        `F_1 = F_2`

`<=> [k|qQ|]/[r_1^2] = [k|4qQ|]/[r_2^2] `

`<=> r_2 = 2r_1`

`=>` Đặt điện tích `Q` nằm trên đoạn thẳng nối hai điện tích `q` và `4Q` sao cho khoảng cách từ `Q` đến điện tích `4q` gấp `2` lần khoảng cách từ `Q` đến điện tích `q`, và không phụ thuộc vào dấu và độ lớn của điện tích `Q`.

$b)$

Khi hai điện tích `q` và `4q` để tự do thì phải đặt điện tích `Q` tại vị trí như trên câu $a)$ để điện tích `Q` cân bằng.

Giả sử điện tích `q` cố định.

Lực điện do điện tích `q, Q` tác dụng lên điện tích `4q` lần lượt là:

        `F_1' = [k|4q^2|]/[r_1'^2] `

        `F_2' = [k|4qQ|]/[r_2'^2] `

Để `4q` cần bằng thì:

        `vecF_1' + vecF_2' = vec0`

`<=> vecF_1' = - vecF_2'`

`=> Q` trái dấu với `q`

Ta có:

        `F_1' = F_2'`

`<=> [k|4q^2|]/[r_1'^2] = [k|4qQ|]/[r_2'^2]`

`<=> [q]/[(r_1 + r_2)^2] = [- Q]/[r_2^2]`

`<=> q/[(3r_1)^2] = [- Q]/[(2r_1)^2]`

`<=> Q = - 4/9 q`

Khi đó, hợp lực tác dụng lên điện tích `q` là:

        `- vecF_1 + (- vecF_1' ) = vecF_2 + vecF_2' = vec0`

Do ` vecF_2 ,vecF_2'` lần lượt là lực điện do điện tích `4q` tác dụng lên `Q` và ngược lại.

`=>` Điện tích `q` cũng cân bằng.

Vậy điện tích `Q = - 4/9 q` và nằm trên đoạn thẳng nối hai điện tích `q` và `4Q` sao cho khoảng cách từ `Q` đến điện tích `4q` gấp `2` lần khoảng cách từ `Q` đến điện tích `q`.