Đáp án:

$a)$

        `A_M = 2\sqrt[2] (cm)`

Có `5` điểm dao động với biên độ cực đại.

Có `5` điểm đứng yên.

$b)$

        `\Deltad = \sqrt[64k^2 - 225] (cm)` với `k le 2`

$c)$

TH1:

        `16k le d_1 - d_2 le 8 + 16k`

        `d_1 + d_2 = 16m - 2`

TH2:

        `16k - 8 le d_1 - d_2 le 16k`

        `d_1 + d_2 = 16m + 2`

Giải thích các bước giải:

        `S_1 S_2 = 30 (cm)`

        $V = 40 (cm/s)$

Từ phương trình truyền sóng, tần số truyền sóng là:

        `f = omega/[2pi] = [10pi]/[2pi] = 5 (Hz)`

Độ dài bước sóng là:

        `lambda = V/f = 40/5 = 8 (cm)`

Phương trình sóng giao thoa tại điểm bất kỳ cách nguồn `S_1, S_2` lần lượt là `d_1, d_2 (cm)` là:

        `u = 2 cos(10pit - [2pi d_1]/lambda) + 2 cos(10pi t - [2pi d_2]/lambda)`

           `= 4 cos [[pi(d_1 - d_2)]/lambda] cos[10pi t - [pi(d_1 + d_2)]/lambda] (cm)`

$a)$

Biên độ dao động của phần tử tại `M` cách hai nguồn lần lượt là `10cm` và `20cm` là:

        `A_M = 4 |cos[[pi(d_1 - d_2)]/lambda] | = 4 |cos[[pi(10 - 20)]/8 | = 2\sqrt[2] (cm)`

Trên đoạn `MS_2: d_1` và `d_2` thỏa mãn.

        $\begin{cases} d_1 + d_2 = S_1 S_2 = 30 (cm)\\0 ≤ d_2 ≤ 20 (cm) \end{cases}$

Xét điểm trên `MS_2` dao động với biên độ cực đại:

        `[pi(d_1 - d_2)]/lambda = kpi`

`<=> d_1 - d_2 = klambda = 8k (cm)`

`<=> S_1 S_2 - 2d_2 = 8k`

`<=> d_2 = 1/2 (30 - 8k) = 15 - 4k (cm)`

`=> 0 le 15 - 4k le 20`

`=> - 1,25 le k le 3,75`

`=> k in {- 1; 0; 1; 2; 3}   to` Có `5` điểm dao động với biên độ cực đại.

Xét điểm trên `MS_2` đứng yên:

        `[pi(d_1 - d_2)]/lambda = kpi + pi/2`

`<=> d_1 - d_2 = klambda + lambda/2 = 8k + 8/2 = 8k + 4 (cm)`

`<=> S_1 S_2 - 2d_2 = 8k + 4`

`<=> d_2 = 1/2 (30 - 8k - 4) = 13 - 4k (cm)`

`=> 0 le 13 - 4k le 20`

`=> - 1,75 le k le 3,25`

`=> k in {- 1; 0; 1; 2; 3}   to` Có `5` điểm đứng yên.

$b)$

Các điểm nằm trên đường trung trực của `S_1 S_2` dao động cùng cùng pha với hai nguồn: `d_1 = d_2`

         `u = 4 cos [[pi(d_1 - d_2)]/lambda] cos[10pi t - [pi(d_1 + d_2)]/lambda]`

            `= 4 cos (10pit - [2pi d_1]/lambda)   (cm)`

`to` Pha dao động:

        `varphi = 10pi t - [2pi d_1]/lambda = 10pit - k2pi`

`<=> d_1 = k lambda = 8k` 

Vì `d_1 le [S_1 S_2]/2 = 30/2 = 15`

`=> k le 15/8 to k le 2`

Khoảng cách `I` tới các điểm nằm trên đường trung trực của `S_1 S_2` dao động cùng pha với nguồn là:

        `\Deltad = \sqrt[d_1^2 - ([S_1 S_2]/2)^2] = \sqrt[(8k)^2 - (30/2)^2] = \sqrt[64k^2 - 225] (cm)`

$c)$

Phương trình sóng tại `I` là:

        `u_I = 4 cos(10pit - [pi .S_1S_2]/lambda) = 4 cos(10pit - [30pi]/8) = 4 cos(10pit + pi/4)   (cm)`

Các điểm dao động cùng pha với `I` là:

        `u = 4 cos [[pi(d_1 - d_2)]/lambda] cos[10pi t - [pi(d_1 + d_2)]/lambda] (cm)`

TH1:

        `k2pi \le [pi(d_1 - d_2)]/lambda le pi + 2kpi`

`<=> 2klambda le d_1 - d_2 le (1 + 2k) lambda`

`<=> 16k le d_1 - d_2 le 8 + 16k`

Khi đó:

        `- [pi(d_1 + d_2)]/lambda = pi/4 - m2pi`

`<=> d_1 + d_2 = - lambda/4 + 2mlambda = - 8/4 + 2m.8 = 16m - 2`

TH2:

        `- pi + k2pi \le [pi(d_1 - d_2)]/lambda le 2kpi`

`<=> (-1 + 2k)lambda le d_1 - d_2 le 2k lambda`

`<=> 16k - 8 le d_1 - d_2 le 16k`

Khi đó:

        `- [pi(d_1 + d_2)]/lambda = - pi/4 - m2pi`

`<=> d_1 + d_2 = lambda/4 + 2mlambda = 8/4 + 2m.8 = 16m + 2`