Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $D\in$ tia đối của tia $AH, AH=AD\to A$ là trung điểm $DH$

               $E$ là trung điểm $HC$

               $DE\cap CA=F$

$\to F$ là trọng tâm $\Delta DHC$

Mà $M$ là trung điểm $DC$

$\to H, F, M$ thẳng hàng

b.Vì $\Delta HDC$ vuông tại $H, M$ là trung điểm $DC$

$\to MH=MC=MD=\dfrac12DC$

Ta có: $F$ là trọng tâm $\Delta DHC$

$\to HF=\dfrac23HM=\dfrac13\cdot 2HM=\dfrac13DC$

c.Trên tia đối của tia $EP$ lấy $K$ sao cho $PE=EK$

Xét $\Delta EPH,\Delta ECK$ có:

$EP=EK$

$\widehat{PEH}=\widehat{CEK}$

$EH=EC$

$\to \Delta EPH=\Delta EKC(c.g.c)$

$\to PH=CK, \widehat{EPH}=\widehat{EKC}\to HP//CK$

Mà $P$ là trung điểm $AH\to PA=PH$

$\to PA=CK$

Do $AH//CK\to \widehat{APC}=\widehat{PCK}$

$\to \Delta APC=\Delta KCP(c.g.c)$

$\to \widehat{ACP}=\widehat{CPK}, AC=PK=2PE$

$\to PK//AC$

Mà $AC\perp AB$

$\to PK\perp AB$

$\to EP\perp AB$

d.Ta có: $A, E$ là trung điểm $HD, HC$

$\to$Tương tự câu c chứng minh được $AE//DC, AE=\dfrac12DC$

Ta có: $AH\perp BE, EP\perp AB$

$\to P$ là trực tâm $\Delta ABE$

$\to BP\perp AE$

$\to BP\perp CD$

Mà $DP\perp BC\to P$ là trực tâm $\Delta DBC$

$\to CP\perp BD$