Đáp án:

$1$. `U_[AN] = [49 + \sqrt[241]]/4 (V)` hoặc `U_[AN] = [49 - \sqrt[241]]/4 (V)`

$2.$

TH1: `U_[AN] = [49 + \sqrt[241]]/4 (V)`

Dòng điện qua `R_5` có chiều từ `M` đến `N` và có độ lớn `0,615 (A)`

TH2: `U_[AN] = [49 - \sqrt[241]]/4 (V)`

Dòng điện qua `R_5` có chiều từ `N` đến `M` và có độ lớn `1,041 (A)`

Giải thích các bước giải:

$1$.

Công suất tiêu thụ của toàn mạch là:

        `P = P_1 + P_2 + P_3 + P_4 + P_5`

           `= 24 +18+18+24+6= 90 (W)`

Cường độ dòng điện qua mạch chính là:

        `I = P/U_[AB] = 90/30 = 3 (A)`

Ta có:

        `U_[AB] = U_[AN] + U_[NB]`

`<=> U_[NB] = U_[AB] - U_[AN] = 30 - U_[AN]`

        `I_[AN] + I_[MN] = I_[NB]`

`<=> P_3/U_[AN] + P_5/U_[MN] = P_4/U_[NB]`

`<=> 18/U_[AN] + 6/U_[MN] = 24/[30 - U_[AN]]`

`<=> 1/U_[MN] = 4/[30 - U_[AN]] - 3/U_[AN] = [7U_[AN] - 90]/[U_[AN](30-U_[AN])]`

`<=> U_[MN] = [30U_[AN] - U_[AN]^2]/[7U_[AN] - 90]`

        `I_[AM] + I_[AN] = I`

`<=> P_3/U_[AN] + P_1/U_[AM] = 3`

`<=> 18/U_[AN] + 24/[U_[AN] - U_[MN]] = 3`

`<=> 6/U_[AN] + 4/[U_[AN] - [30U_[AN] - U_[AN]^2]/[7U_[AN] - 90]] = 1`

`<=> 6/U_[AN] + [7U_[AN] - 90]/[2U_[AN]^2 - 30U_[AN]] = 1`

`<=> 6(2U_[AN] - 30) + (7U_[AN] - 90) = 2U_[AN]^2 - 30U_[AN]`

`<=> U_[AN] = [49 + \sqrt[241]]/4 (V)` hoặc `U_[AN] = [49 - \sqrt[241]]/4 (V)`

$2.$

TH1: `U_[AN] = [49 + \sqrt[241]]/4 (V)`

`to U_[MN] = [30U_[AN] - U_[AN]^2]/[7U_[AN] - 90] ≈9,762 (V) > 0`

Dòng điện qua `R_5` có chiều từ `M` đến `N` và có độ lớn:

         `I_5 = P_5/U_[MN] = 6/[9,762] ≈ 0,615 (A)`

TH2: `U_[AN] = [49 - \sqrt[241]]/4 (V)`

`to U_[MN] = [30U_[AN] - U_[AN]^2]/[7U_[AN] - 90] ≈ - 5,762 (V) < 0`

Dòng điện qua `R_5` có chiều từ `N` đến `M` và có độ lớn:

         `I_5 = P_5/[-U_[MN]] = 6/[5,762] ≈ 1,041 (A)`