Để lập được số tự nhiên có `4` chữ số sao cho chữ số `1` có mặt đúng hai lần, các chữ số khác có mặt không quá hai lần cần thỏa các khả năng sau:
KN1: Chữ số `1` xuất hiện hai lần và chữ số `1` ở vị trí hàng nghìn

- Số `1` ở vị trí hàng nghìn có `1` cách

- Có `3` cách xếp số `1` vào các vị trí còn lại

- Xắp xếp các chữ số khác có mặt không quá hai lần thỏa các trường hợp sau:

+) TH1: Số `x` xuất hiện hai lần ở hai vị trí còn lại:

`circ` Chọn số `x` có và xếp chúng vào `2` vị trí còn lại có: `C_{4}^{1}` cách (do hai chữ số giống nhau nên không cần sắp xếp)

+) TH2: Hai số xuất hiện một lần ở hai vị trí còn lại:

`circ` Chọn `2` số và xếp chúng vào `2` vị trí còn lại có: `A_{4}^{2}` cách

`=>` Số cách xếp các chữ số khác có mặt không quá hai lần có: `C_{4}^{1} + A_{4}^{2} = 16` số

`=>` Khả năng này có `1.3.16 = 48` số thỏa mãn

KN2: Chữ số `1` xuất hiện hai lần và chữ số `1` không nằm ở vị trí hàng nghìn

- Có `C_{3}^{2}` cách chọn vị trí cho chữ số `1` (trừ vị trí hàng nghìn)

- Xắp xếp các chữ số khác có mặt không quá hai lần thỏa các trường hợp sau:

+) TH1: Có một số ở vị trí hàng nghìn và một số ở vị trí còn lại

`circ` Số cách một chữ số vào vị trí hàng nghìn có: `C_{4}^{1}` cách

`circ` Số cách chọn một chữ số vào vị trí còn lại có: `C_{3}^{1}` cách (do còn một vị trí nên không cần sắp xếp)

`=>` Trường hợp này có `C_{4}^{1}.C_{3}^{1}` số thỏa mãn

+) TH2: Số `x` xuất hiện hai lần ở hai vị trí còn lại:

`circ` Chọn số `x` có và xếp chúng vào `2` vị trí còn lại có: `C_{4}^{1}` cách (do hai chữ số giống nhau nên không cần sắp xếp)

`=>` Số cách xếp các chữ số khác có mặt không quá hai lần có: `C_{4}^{1}.C_{3}^{1} + C_{4}^{1}= 16` số

`=>` Khả năng này có `C_{4}^{1}.C_{3}^{1}.16 = 192` số thỏa mãn

Vậy  số cách lập số tự nhiên có `4` chữ số sao cho chữ số `1` có mặt đúng hai lần, các chữ số khác có mặt không quá hai lần là: `48 + 192 = 240` số

$\color{#FA8072}{\text{$\textit{$\circ$ hungnguyen4269}$}}$

Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

Có `2` chữ số `1` và `2` chữ số khác nhau từ taaph hợp `A` 

`C_2^4 . C_2^4 . 2! . 2! = 6.6.2.2 = 144`

 Có `2` chữ số `1` và `2` chữ số giống nhau từ tập hợp `A` (không phải là `1`)

`C_2^4.C_2^4 . 3! = 6.4.6 = 144`

Tổng số tự nhiên có bốn chữ số sao cho chữ số 1 có mặt đúng hai lần, các chữ số khác có mặt không quá hai lần là:

`144 + 144 = 288`

`--------`

`~Thu~`