Đáp án: $12.5$

Giải thích các bước giải:

Ta có: $\widehat{BHC}=\widehat{BKC}=90^o\to BCHK$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

Kẻ $At$ là tiêp tuyến của $(O)$

$\to At\perp AI$

Mà $\widehat{tAB}=\widehat{ACB}=\widehat{BCH}=\widehat{AKH}$

$\to At//HK$

$\to HK\perp AI$

Ta có: $\vec{HK}=(3,4)$

$\to$Phương trình $AI$ là:

$$3(x-1)+4(y-0)\to 3x+4y-3=0$$

Phương trình đường tròn ngoại tiêp $\Delta ABC$ là:

$$(x-1)^2+y^2=5^2$$

Tọa độ điểm $A$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}3x+4y-3=0\\(x-1)^2+y^2=5^2\end{cases}$

$\to (x,y)\in\{(-3,3), (5,-3)\}$

Vì $y_A>0$

$\to A(-3,3)$

Phương trình $AB$ là:

$$\dfrac{x+3}{0+3}=\dfrac{y-3}{-3-3}\to 2x+y+3=0$$

Phương tình $AC$ là:

$$\dfrac{x+3}{3+3}=\dfrac{y-3}{1-3}\to x+3y-6=0$$

Tọa độ $B$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}(x-1)^2+y^2=5^2\\  2x+y+3=0\end{cases}$

$\to B(1,-5)$ vì $A(-3,3)$

Tọa độ $C$ là nghiệm của hệ:

$\begin{cases}(x-1)^2+y^2=5^2\\ x+3y-6=0\end{cases}$

$\to C(6,0)$

$\to BC=\sqrt{(6-1)^2+(0+5)^2}=5\sqrt2$

Bình phương bán kính đường tròn ngoại tiêp $BCHK$ là:

$$(\dfrac12BC)^2=(\dfrac12\cdot 5\sqrt2)^2=\dfrac{25}2$$