Vì I ∈ d: x-3y+4=0

⇒ I(3t-4;t)

Ta có: IA²=IB²

⇒(1-3t)²+t²=(4-3t)²+(1-t)²

⇒t=$\frac{4}{5}$ 

⇒I($\frac{-8}{5}$ :$\frac{4}{5}$ )

Mà IA²=R²=$\frac{13}{5}$ 

⇒PTDT: (x+$\frac{8}{5}$ )² + (y-$\frac{4}{5}$ )² = $\frac{13}{5}$ 

Vì đường tròn `(C)` có tâm thuộc đường thẳng `d: x-3y+4=0`

`⇒I(3y-4;y)`

Vì đường tròn `(C)` đi qua hai điểm `A (-3;0), B(0,1)` nên hai điểm `A` và `B` nằm trên đường tròn.

`⇒IA=IB=R`

`⇒\sqrt{(3y-4+3)^2+(0-y)^2}=\sqrt{(3y-4-0)^2+(1-y)^2}`

`⇔\sqrt{9y^2-6y+1+y^2}=\sqrt{9y^2-24y+16+1-2y+y^2}`

`⇔\sqrt{10y^2-6y+1}=\sqrt{10y^2-26y+17}`

`⇔10y^2-6y+1=10y^2-26y+17`

`⇔20y=16`

`⇔y=4/5`

`⇒` Tọa độ điểm `I` là : `I(-8/5 ; 4/5)`

`⇒R=\sqrt{65}/5`

`⇒` Phương trình đường tròn `(C)` có dạng : `(x+8/5)^2+(y-4/5)^2=13/5`

Vậy phương trình đường tròn `(C)` có dạng : `(x+8/5)^2+(y-4/5)^2=13/5`