Giả sử ta cho `sqrt{7}` là một số hữu tỉ được viết dưới dạng `m/n` với `(m;n) = 1`

Ta có: `sqrt{7} = m/n`

`=> (sqrt{7})^2 = (m/n)^2`

`=> 7 = (m^2)/(n^2)`

`=> m^2 = 7n^2`

`=> m^2 vdots n^2`

`=> m vdots n`

Mà `m` và `n` là hai số nguyên tố cùng nhau nên không thể chia hết cho nhau nên `m vdots n` là vô lí

Vậy, `sqrt{7}` không thể là số vô tỉ mà là số hữu tỉ

Câu 2:

`(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2`

`= [(ac)^2 + 2.ac.bd + (bd)^2] + [(ad)^2 - 2.ad.bc + (bc)^2]`

`= a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2 + a^2d^2 - 2abcd + b^2c^2`

`= a^2c^2 + b^2d^2 + a^2d^2 + b^2c^2` (*)

Mà `(a^2 + b^2)(c^2 + d^2)`

`= (a^2 . c^2 + a^2 . d^2) + (b^2.c^2 + b^2 . d^2)`

`= a^2c^2 + a^2d^2 + b^2c^2 + b^2d^2 =` (*)

Từ đó, suy ra được: `(ac + bd)^2 + (ad - bc)^2 = (a^2 + b^2)(c^2 + d^2)`