Đáp án:

$a)$ (chứng minh như bên dưới)

$b)$ $AE=\frac{9}{4}cm,BE=\frac{7}{4}cm$

$c)$ $FC=\frac{\sqrt3}{2}cm$

Giải thích các bước giải:

$a)$ Vì $AH$ là đường cao của $ΔABC$ (GT) $⇒AH⊥BC$ (ĐN)

$⇒ΔAHB$ và $ΔAHC$ vuông tại $H$ (ĐN)

Vì $HE⊥AB$ (GT) $⇒HE$ là đường cao $ΔAHB$ (ĐN)

$⇒AE.AB=AH^2$ $^{(1)}$ (hệ thức lượng)

Vì $HF⊥AC$ (GT) $⇒HF$ là đường cao $ΔAHC$ (ĐN)

$⇒AF.AC=AH^2$ $^{(2)}$ (hệ thức lượng)

Từ $(1)$ và $(2)⇒AE.AB=AF.AC$ (đpcm)

------------

$b)$ Vì $AE.AB=AH^2$ (cmt)

$⇒AE=\frac{AH^2}{AB}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Thay $AB=4cm,AH=3cm$ (GT) ta có: $AE=\frac{3^2}{4}=\frac{9}{4}$ $(cm)$

Ta có: $BE=AB-AE=4-\frac{9}{4}=\frac{7}{4}$ $(cm)$

------------

$c)$ Vì $HF⊥AC$ (GT) $⇒ΔHFC$ vuông tại $F$ (ĐN)

$⇒cos\widehat{HAF}=\frac{AF}{AH}$ (tỉ số lượng giác trong tam giác vuông)

$⇒AF=AH.cos\widehat{HAF}$ (tính chất tỉ lệ thức)

Thay $AH=3cm,\widehat{HAF}=\widehat{HAC}=30°$ (GT), ta có:

$AF=3.cos30°=3.\frac{\sqrt3}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}$ $(cm)$

Vì $AF.AC=AH^2$ (cmt) $⇒AC=\frac{AH^2}{AF}$

Thay $AH=3cm$ (GT)$,AF=\frac{3\sqrt3}{2}cm$ (cmt), ta có:

$AC=\frac{3^2}{\frac{3\sqrt3}{2}}=3^2.\frac{2}{3\sqrt3}=2\sqrt3$ $(cm)$

Ta có: $FC=AC-AF=2\sqrt3-\frac{3\sqrt3}{2}=\frac{\sqrt3}{2}$ $(cm)$