Đáp án+Giải thích các bước giải:

`m^5 + 29m`

`= m^5 - m + 30m`

`= m( m^4 - 1 ) + 30m`

`= m( m^2 - 1 )( m^2 + 1 ) + 30m`

`= m( m - 1 )( m + 1 )( m^2 - 4 + 5 ) + 30m`

`= m( m - 1 )( m +1 )( m - 2 )( m + 2 ) + 5m( m - 1 )( m + 1 ) + 30m`

`Do  m in Z => m( m - 1 )( m + 1 )` là tích `3` số nguyên liên tiếp

`=>` có ít nhất `1` số chia hết cho `2`

và có duy nhất `1` số chia hết cho `3`

` Mà  ( 2 ; 3 ) = 1  và  2 . 3 = 6`

`=> m( m - 1 )( m + 1 )  \vdots  6`

`=> 5m( m - 1 )( m + 1)  \vdots  6 ( 1 )`

Lại có: `m( m - 1 )( m + 1 )( m - 2 )( m + 2 )` là tích `5` số nguyên liên tiếp

`=>` có ít nhất `1` số chia hết cho `2`

`=>` có ít nhất `1` số chia hết cho `3`

và có duy nhất `1` số chia hết cho `5`

` Mà  2 ; 3 ;5` đôi `1` nguyên tố cùng nhau và `2 . 3 . 5 = 30`

`=> m( m - 1 )( m + 1 )( m - 2 )( m + 2 )  \vdots  30  ( 2 )`

` Và  30m  \vdots  30  ( 3 )`

Cộng vế với vế của `( 1 ) ; ( 2 ); ( 3 )`

`=> m^5 + 29m  \vdots  30  AA  m` ( đpcm )

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`m^5 +29m`

`= (m^5 -m)+30m`

`= m(m^4 -1)+30m`

`= m(m^2 -1)(m^2 +1)+30m`

`= m(m-1)(m+1).[(m^2 - 4)+5]+30m`

`= (m-1)m(m+1).(m-2)(m+2)  + 5.m(m-1)(m+1) +30m`

Với `\AA m \in ZZ` thì `m-2;m-1;m;m+1;m+2` là `5` số nguyên liên tiếp 

Mà trong `5` số nguyên liên tiếp luôn tồn tại `1` bội của `5;` ít nhất `1` bội của `3;` ít nhất `2` bội của `2`

`=> ` Tích của chúng `\vdots 2;3;5`

Mặt khác: `(2;3;5)=1`

`=> (m-2)(m-1)m(m+1)(m+2) \vdots 30``(1)`

Lại có: trong `3` số nguyên liên tiếp luôn tồn tại `1` bội của `3;` ít nhất `2` bội của `2`

`=>` Tích của chúng `\vdots 2;3`

Mặt khác: `(2;3)=1`

`=> (m-1)m(m+1) \vdots 6`

`=>  5(m-1)m(m+1) \vdots 30``(2)`

Ta có: `30 m \vdots 30 \AA m``(3)`

`(1)(2)(3) =>  (m-1)m(m+1).(m-2)(m+2)  + 5.m(m-1)(m+1) +30m \vdots 30`

Hay `m^5 +29m \vdots 30`

Vậy bài toán được chứng minh