Đặt `(4n)!\vdots24^n(1)`

- Với `n=1` thì ta thấy mệnh đề `(1)` đúng khi `n=1`

- Với `n=2` thì ta thấy mệnh đề `(1)` đúng khi `n=2`

- Giả sử mệnh đề `(1)` đúng với `n=k\inNN>=3,` khi đó ta đi chứng minh mệnh đề `(1)` cũng đúng với `n=k+1.` Thật vậy:
Ta có:` [4(k+1)]!=1.2.3....4k.(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)=(4k!).(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)`

Vì `(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)` là tích của `4` số tự nguyên liên tiếp và chắc chắn cũng có tích hai số chẵn liên tiếp nên `(4k+1)(4k+2)(4k+3)(4k+4)\vdots(3,8)=24`

Theo giả thiết quy nạp ta có: `(4n)!\vdots24^n`

Từ đó suy ra `[4(k+1)]!\vdots24^(n+1),` theo nguyên lí quy nạp, ta được điều phải chứng minh.

Vậy `(4n)!\vdots24^n` với mọi `n\inNN^(**)`

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

`star``(4n)! = 1.2.3.4...(4n-1).(4n)`

Đặt: `S= (2.4).(6.8).(10.12)...[(4n-2).4n]`

( Có `[(4n-2):2+1]:2=n` nhóm )

 Ta thấy:

`2.4 \vdots 8`

`6.8 \vdots 8`

`...`

`(4n-2).4n \vdots 8`

`=> S \vdots 8^n`

`=> (4n)! \vdots 8^n`

`star`Xét số dư của `(4n)!` khi chia cho `3^n`

`TH_1: n = 3k( k \in NN^{**})`

`=> 4n=12k`

Đặt: `A =(3.6).(9.12).(15.18).(21.24).(27.30)...[(12k-3).12k]`

( Có `[(12k-3):3+1]:2=2k` nhóm )

`={(3.6). (15.18).(27.30)...[(12k-9)(12k-6)]}. {(9.12). (21.24)...[(12k-3)12k]}`

( Có `2k:2=k` nhóm )

Trong đó: nhóm `1` là: `(3.6). (15.18).(27.30)...[(12k-9)(12k-6)]`

Nhóm `2` là: `(9.12). (21.24)...[(12k-3)12k]`

Xét nhóm `1:`

`3.6 \vdots 9`

`15.18 \vdots 9`

`27.30 \vdots 9`

`...`

`(12k-9)(12k-6) \vdots 9`

`=> (3.6). (15.18).(27.30)...[(12k-9)(12k-6)] \vdots 9^{k}``(1)`

Xét nhóm `2:`

`9.12 \vdots 3`

`21.24 \vdots 3`

`33.36 \vdots 3`

`...`

`(12k-3)12k \vdots 3`

`=> (9.12). (21.24).(33.36)...[(12k-3)12k] \vdots 3^{k}``(2)`

`(1)(2) => A \vdots 3^k .9^k = 27^k = 3^{3k}= 3^n``(I)`

`TH_2: n=3k+1(k \in NN^{**})`

`=> 4n-1 =12k+3 \vdots 3`

Đặt: `B=(3.6).(9.12)...[12k.(12k+3)]`

( Có `[(12k+3-3):3+1]:2=2k` nhóm )

Làm tương tự `TH_1` ta luôn được `B \vdots 3^{3k} = 3^{n-1}`

Mặt khác: khi ta xét các nhóm chia hết cho `9` và chia hết cho `3`, thì trong số đó có ít nhất `1` số chia hết cho cả `27`

`=> B \vdots 3^{n-1} .3 = 3^n``(II)`

`TH_3: n=3k+2``( k \in NN^{**})`

`=> 4n-2= 12k + 6 \vdots 3`

Đặt: `C= (3.6).(9.12)...[(12k+3)(12k+6)]`

( Có `[(12k+6-3):3+1]:2=2k+1` nhóm )

`= {(3.6). (15.18).(27.30)...[(12k+3)(12k+6)]}. {(9.12). (21.24)...[(12k-3)12k]}`

( cặp ngoặc nhọn đầu có `k+1` nhóm; cặp ngoặc sau có `k` nhóm )

CMTT `TH_1:`

`(3.6). (15.18).(27.30)...[(12k+3)(12k+6)] \vdots 9^{k+1}`

`(9.12). (21.24)...[(12k-3)12k] \vdots 3^k`

`=> C \vdots 9^{k+1} . 3^k = 3^{3k+2} =3^n``(III)`

`(I)(II)(III) => (4n)! \vdots 3^n`

Mà `(4n)!  \vdots 8^n`

`(8^n ;3^n )=1`

`=> (4n)! \vdots 24^n`

Vậy bài toán được chứng minh