Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Kẻ $AH \bot BC$

$\Rightarrow AH$ là đường phân giác của $\widehat{BAC}$

$\Rightarrow \widehat{BAH} = \dfrac{\widehat{BAC}}{2} = \dfrac{34^o}{2} = 17^o$

Xét $\Delta ABH$ vuông tại $H(AH \bot BC)$, ta có:
$\sin \widehat{BAH} = \dfrac{BH}{AB}$
$\Rightarrow \sin 17^o = \dfrac{BH}{8}$

$\Leftrightarrow BH = 8 \sin 17^o \approx 2,339(m)$

Mà $AH \bot BC$, $\Delta ABC$ cân tại $A \Rightarrow H$ là trung điểm của $BC$

$\Rightarrow BC = 2BH \approx 4,678(m)$

b) Kẻ $CK \bot AD$

$\Rightarrow \widehat{ACK} = 90^o - \widehat{CAK} = 90^o - 42^o = 48^o$

Xét $\Delta AKC$ vuông tại $K$, ta có:
$\sin \widehat {CAK} = \dfrac{CK}{AC}$

$\Rightarrow \sin 42^o = \dfrac{CK}{8}$
$\Leftrightarrow CK = 8 \sin 42^o \approx 5,353(m)$

Mặt khác, xét $\Delta AKC$ vuông tại $K$, ta có:

$\sin \widehat{ACK} = \dfrac{AK}{AC}$

$\Rightarrow \sin 48^o = \dfrac{AK}{8}$
$\Leftrightarrow AK = 8 \sin 48^o \approx 5,945(m)$

$\Rightarrow KD = AD - AK = 10,6 - 5,945 \approx 4,655(m)$

Xét $\Delta CKD$ vuông tại $K$, ta có:

$\tan \widehat{KDC} = \dfrac{CK}{DK}$

$\Rightarrow \tan \widehat{KDC} = \dfrac{5,353}{4,655} \approx 1,15$

$\Leftrightarrow \widehat{ADC} = \widehat{KDC} \approx 48,99^o$

c) Kẻ $BM \bot AD$

$\Rightarrow$ Khoảng cách từ $B$ đến $AD$ là độ dài đoạn $BM$

Xét $\Delta AMB$ vuông tại $M$, ta có:
$\sin \widehat{BAM} = \dfrac{BM}{AB}$

Mà $\widehat{BAM} = \widehat{BAC} +\widehat{CAM} = 34^o + 42^o = 76^o$

$\Rightarrow \sin 76^o = \dfrac{BM}{8}$
$\Leftrightarrow BM = 8 \sin 76^o \approx 7,762(m)$

$\Rightarrow$ Khoảng cách từ $B$ đến $AD$ là $7,762m$