Giải thích các bước giải:

1.Ta có: $AB, AC$ là tiếp tuyên của $(O)\to OA\perp BC=H, AB=AC, AB\perp OB , AC\perp OC$

$\to\Delta ABO$ vuông tại $B, BH\perp AO$

$\to AH\cdot AO=AB^2$

Ta có: $BD$ là đường kính của $(O)\to BE\perp ED\to BE\perp AD$

$\to AB^2=AE\cdot AD$

$\to AH\cdot AO=AE\cdot AD$

2.Ta có: $\Delta OBA$ vuông tại $B, BH\perp AO\to OH\cdot OA=OB^2=R^2$

Xét $\Delta OKA,\Delta OHF$ có:
Chung $\hat O$

$\hat K=\hat H(=90^o)$

$\to\Delta OKA\sim\Delta OHF(g.g)$

$\to \dfrac{OK}{OH}=\dfrac{OA}{OF}$

$\to OK\cdot OF=OH\cdot OA=R^2=OD^2$

$\to \dfrac{OK}{OD}=\dfrac{OD}{OF}$

Mà $\widehat{KOD}=\widehat{FOD}$

$\to \Delta OKD\sim\Delta ODF(c.g.c)$

$\to \widehat{ODF}=\widehat{OKD}=90^o$

$\to FD\perp DO$

$\to FD$ là tiếp tuyến của $(O)$

3.Vì $I$ là trung điểm $AB, \Delta AHB$ vuông tại $H\to IH=IA=IB\to I\in$ trung trực $AH$

Mà $IN\perp AH=M\to M$ là trung điểm $AH, IN$ là trung trực $HA\to NA=NH, A, H$ đối xứng qua $IN$

Ta có: $AH\cdot AO=AE\cdot AD$

$\to \dfrac{AH}{AE}=\dfrac{AD}{AO}$

Mà $\widehat{HAE}=\widehat{OAD}$

$\to \Delta AEH\sim\Delta AOD(c.g.c)$

$\to \widehat{AHE}=\widehat{ADO}=\widehat{ODE}$

$\to OHED$ nội tiếp

$\to H, E, D, O$ cùng thuộc một đường tròn

Mà $\widehat{FHO}=\widehat{FDO}=90^o\to F, H, O, D$ cùng thuộc một đường tròn

$\to H, E, F, D, O$ cùng thuộc một đường tròn

Gọi $IN\cap AD=J$

Xét $\Delta IJH,\Delta FHD$ có:

$\widehat{JIH}=\widehat{AIJ}=\widehat{ABC}=\widehat{DHF}$ vì $AB//DF(\perp BD)$

$\widehat{IHJ}=\widehat{IAJ}=\widehat{BAD}=90^o-\widehat{BDA}=90^o-\widehat{BDE}=\widehat{EBD}=\dfrac12\widehat{EOD}=\widehat{EOF}=\widehat{FHD}$

$\to \Delta IHJ\sim\Delta FHD(g.g)$

$\to \dfrac{JH}{HD}=\dfrac{IH}{FH}$

Ta có: $IBFN$ là hình bình hành $\to NF=IB=IH\to \dfrac{JH}{HD}=\dfrac{NF}{FH}$

Lại có:

$\widehat{JHA}+\widehat{OHD}$

$=\widehat{OAD}+\widehat{ODA}$

$=180^o-\widehat{AOD}$

$=180^o-\widehat{HOD}$

$=\widehat{HED}$

$=\widehat{HFD}$

$\to 180^o-(\widehat{JHA}+\widehat{OHD})=180^o-\widehat{HFD}$

$\to \widehat{JHD}=\widehat{HFN}$

$\to \Delta JHD\sim\Delta NFH(c.g.c)$

$\to \widehat{JHD}=\widehat{HFN}=180^o-\widehat{JNF}=180^o-\widehat{JND}$

$\to \widehat{JHD}+\widehat{JND}=180^o$

$\to HJND$ nội tiếp

$\to \widehat{NHD}=\widehat{NJD}=\widehat{HDF}$

$\to ND=NH$

Mà $NH=NA$

$\to NA=ND$