Đáp án + Giải thích các bước giải:

Đăt `4p+q=a^2` và `9p+q=b^2`. Khi đó: `a,b\inNN^(**)` và `b>a`

Vì `p,q` là số nguyên tố nên `{(a^2=4p+q>=4.2+2=10),(b^2=9p+q>=9.2+2=20):}`

`<=>{(a>3),(b>4):}`

Ta có: `b^2-a^2=(9p+q)-(4p+q)`

`<=>(b-a)(b+a)=5p`

Khi đó: `(b-a)(b+a)\vdotsp`

Nếu `b-a\vdotsp` thì đặt `b-a=mp`

Khi đó: `m(b+a)=5`

Khi đó: `5\vdots(a+b)` (Điều này vô lí với `a+b>7`)

Nếu `b+a\vdotsp` thì đặt `b+a=np`

Khi đó: `n(b-a)=5`

Khi đó: `5\vdots(b-a)`

`=>b-a\in{1;5}`

Với `b-a=1` thì `b+a=5p`

Khi đó: `(b-a)^2+(b+a)^2=1+25p^2`

`<=>2(a^2+b^2)=1+25p^2`

Mà: `a^2+b^2=13p+2q`

Do đó: `25p^2-26p-4q+1=0(1)`

Với `p=2` thì `25.2^2-26.2-4q+1=0`

`<=>q=49/4(l)`

Với `p>2`, kết hợp với `p` là số nguyên tố nên `p` lẻ

Đặt `p=2x+1(x\inNN^(**))`. Khi đó: `(1)<=>25(2x+1)^2-26(2x+1)+1=4q`

`<=>q=x(25x+12)`

Vì `q` là số nguyên tố và `x<25x+12` với mọi `x\inNN^(**)` nên `x=1`

Khi đó: `{(p=3(n)),(q=37(n)):}`

Với `b-a=5` thì `b+a=p`

Khi đó: `(b-a)^2+(b+a)^2=p^2+25`

`<=>2(a^2+b^2)=p^2+25`

Mà: `a^2+b^2=13p+2q` nên `p^2+25=2(13p+2q)`

`<=>p^2-26p+25-4q=0`

Thay `p=2x+1` vào `p^2-26p+25=4q` có:

`4q=(2x+1)^2-26(2x+1)+25`

`<=>q=x(x-12)`

Vì `q` là số nguyên tố và `x-12<x` với mọi `x\inNN^(**)` nên `x-12=1`

`<=>x=13`

Khi đó: `p=2.13+1=27(l)`

Vậy `(p,q)=(3;37)`