Giải thích các bước giải:

Vì $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho $18$

$\to a^3+b^3+c^3$ chia hết cho $2$ và $a^3+b^3+c^3$ chia hết cho $9$

Ta có:
$a^3+b^3+c^3-3abc$

$=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$

$=(a+b+c)((a+b+c)^2-3(ab+bc+ca))$

$=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)$

Do $a^3+b^3+c^3\quad\vdots\quad 9$

$\to a^3+b^3+c^3\quad\vdots\quad 3$

$\to a^3+b^3+c^3-3abc\quad\vdots\quad 3$

$\to (a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)\quad\vdots\quad 3$

$\to (a+b+c)^3\quad\vdots\quad 3$

$\to a+b+c\quad\vdots\quad 3$

$\to 3(a+b+c)(ab+bc+ca)\quad\vdots\quad 9$

$\to a^3+b^3+c^3-3abc\quad\vdots\quad 9$

$\to 3abc\quad\vdots\quad 9$

$\to abc\quad\vdots\quad 3$

Lại có $a^3+b^3+c^3\quad\vdots\quad 2$

Giả sử cả $3$ số đều không chia hết cho $2$

$\to a, b, c$ lẻ

$\to a^3+b^3+c^3$ lẻ

$\to a^3+b^3+c^3$ không chia hết cho $3$

$\to $Giả sử sai

$\to $Có ít nhất $1$ số chia hết cho $2$

$\to abc\quad\vdots\quad 2$

  Vì $(2,3)=1$

$\to abc\quad\vdots\quad 6$