Giải thích các bước giải:

a.Vì $OI\perp CD\to I$ là trung điểm $CD$

b.Ta có: $AH//OI//BK(\perp CD)$

                $O$ là trung điểm $AB$

$\to OI$ là đường trung bình hình thang $ABKH$

$\to I$ là trung điểm $HK$

c.Kẻ $CF\perp AB, DG\perp AB$

$\to CF//IE//DG(\perp AB)$

Vì $I$ là trung điểm $CD$

$\to EI$ là đường trung bình hình thang $CDGF$

$\to IE=\dfrac12(CF+DG)$

$\to IE\cdot AB=\dfrac12(CF+DG)\cdot AB$

$\to IE\cdot AB=\dfrac12CF\cdot AB+\dfrac12DG\cdot AB)$

$\to IE\cdot AB=S_{ABC}+S_{ABD}$

d.Ta có: $OI$ là đường trung bình $ABKH$

$\to OI=\dfrac12(AH+BK)$

$\to S_{ABKH}=\dfrac12HK\cdot (AH+BK)=\dfrac12HK\cdot 2OI=HK\cdot OI$

Vì $CD$ không đổi $\to OI$ không đổi

$\to$Để $S_{AHKB}$ lớn nhất

$\to HK$ lớn nhất

Kẻ $AJ\perp BK\to \widehat{AJB}=90^o\to J\in$ đường tròn đường kính $AB$

Mà $AH\perp HK, HK\perp KB$

$\to AHKJ$ là hình chữ nhật
$\to HK=AJ$

Ta có: $AJ\perp BK\to AJ\le AB=2R$

$\to HK=AJ\le 2R$

$\to$Dấu = xảy ra khi $AJ=AB\to J, B$ trùng nhau

$\to HK//AJ\to HK//AB$

$\to CD//AB$