Xét ΔOAC vuông tại O có:

OE là đg trung tuyến ứng với cạnh huyền

⇒EO=EA=EC

⇒ΔEOA cân tại E

⇒$\widehat{EOA}$ = $\widehat{EAO}$  (1)

$\left.\begin{matrix}HM là đường trung trực của AB\\M∈HM \end{matrix}\right\}$

⇒MA=MM

⇒ΔAMB cân tại M

⇒$\widehat{MAB}$ = $\widehat{MBA}$ (2)

Từ (1)(2) ⇒$\widehat{EOA}$ = $\widehat{MBA}$

Mà $\widehat{EOA}$ đồng vị $\widehat{MBA}$

⇒OE//FM

CMTT ta đc: OF//EM

Xét tứ giác OEMF có:

OE//FM; OF//EM

⇒OEMF là HBH

Mà OM=EF (GT)

⇒OMEF là HCN

$\widehat{EMF}$ = $90^\circ$

⇒ΔAMB vuông tại M

Mà ΔAMB cân tại M (cmt)

⇒ΔAMB vuông cân tại M ⇒$\widehat{MAB}$ = $\widehat{MBA}$ = $45^\circ$

MH là trung điểm ứng với cạnh huyền

⇒MH=AB : 2 = (AO+OB) : 2 = 3 (cm)

Vậy HM = 3cm thì OM=EF

Xét ΔAOC vuông tại O có:

$\widehat{CAO}$ = $45^\circ$ (cmt)

⇒ΔAOC vuông cân tại O

⇒AC = AO.$\sqrt{2}$ = 4$\sqrt{2}$ (cm)

OE là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

⇒OE = AC : 2 = 2$\sqrt{2}$ (cm)

CMTT ta đc: OF = $\sqrt{2}$ (cm)

Xét HCN OEMF có:

$S_(OEMF)$ = OF.OE = 2$\sqrt{2}$ . $\sqrt{2}$ = 4 (cm²)  (3)

Xét ΔOBD vuông cân tại F có: 

F là trung điểm

⇒$S_(OFB)$ = $S_(OBD)$ : 2 = 2 : 2 = 1(cm²)  (4)

CMTT ta đc: $S_(EAO)$ = 4 (cm²) (5)

Từ (3)(4) ⇒ $S_1$ = $S_(OBD)$ + $S_(OEMF)$  = 1+ 4 =5(cm²)

Xét ΔOEF vuông tại O có:

$S_(OEF)$ = OE.OF : 2 = 2 (cm²) (6)

Từ (4)(5)(6) ⇒ $S_2$ = $S_(OFB)$ + $S_(EAO)$ + $S_(OEF)$ = 1 + 4 + 2 =7 (cm²)

Thay vào tỉ số ta đc: $\frac{S_1 + S_2}{S_1 . S_2}$  = $\frac{5+7}{5 . 7}$ = $\frac{12}{35}$