Ta có:

`(AB)/(AC)=2/3`

`=>AB=2/3 AC`

Áp dụng định lý Pytago vào `ΔABC` vuông tại `A`

`BC²=AB²+AC²`

`<=>BC²=(2/3 AC)^2 +AC²`

`=>BC²=(13)/9 AC²`

`=>BC=(\sqrt{13})/3 AC`

Áp dụng hệ thức lượng vào `ΔABC`

`AB²=BH.BC`

`<=>(2/3 AC)^2=9.(\sqrt{13})/3 AC`

`<=>4/9 AC²-3\sqrt{13}AC=0`

`<=>AC(4/9 AC-3\sqrt{13})=0`

`=>AC=0(l)` hoặc `AC=(27\sqrt{13})/4≈24,34`

Vậy `AC≈24,34`

Ta có: `(AB)/(AC)=2/3=>(AB^2)/(AC^2)=4/9`

Xét `triangle ABC` vuông tại `A` có:

`{(AB^2=BH. BC\ (1)),(AC^2=CH.BC\ (2)):}` (hệ thức lượng)

Với `BC>0`, chia `(1)` cho `(2)` vế theo vế ta được:

`(AB^2)/(AC^2)=(BH. BC)/(CH. BC)`

`=>4/9=9/(CH)`

`=>CH=(9.9)/4=81/4`

`=>BC=BH+HC=9+81/4=117/4`

Lại có: `AH^2=HB.HC` (hệ thức lượng)

`=>AH^2=9. 81/4=729/4`

Xét `triangle AHC` vuông tại `H` có:

`AC^2=AH^2+HC^2` (định lí pitago)

`=>AC=sqrt(AH^2+HC^2)=sqrt( (729)/4+(81/4)^2)=(27sqrt13)/4`

Vậy `AC=(27sqrt13)/4`