Đáp án + Giải thích các bước giải:

$x^2 - (m - 1)x + 2m = 0(a = 1; b = -(m - 1); c = 2m)$
$\Delta = b^2 - 4ac = [-(m - 1)]^2 - 4(2m) = m^2 - 2m + 1 - 8m$

$= m^2 - 10m + 1$

$= (m - 5)^2 - 24$
Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$

$\Leftrightarrow \Delta  = (m - 5)^2 - 24 > 0$

$\Leftrightarrow (m - 5)^2 > 24$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}m - 5 > 2\sqrt{6} \\m - 5 < -2\sqrt{6}\end{array} \right.\) 

$\Leftrightarrow$  \(\left[ \begin{array}{l}m > 5 + 2\sqrt{6} \\m <5 - 2\sqrt{6}\end{array} \right.\) 
Áp dụng hệ thức Viet, ta có:

$\begin {cases} x_1 + x_2 = \dfrac{-b}{a} = \dfrac{m - 1}{1} = m - 1 \\ x_1x_2 = \dfrac{c}{a} = \dfrac{2m}{1} = 2m \end {cases}$
Ta có: $x_1, x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $5$

$\Rightarrow x_1^2 + x_2^2 = 5^2 = 25$
$\Leftrightarrow  (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2 = 25$

$\Leftrightarrow (m - 1)^2  - 4m = 25$

$\Leftrightarrow m^2 - 2m + 1 - 4m = 25$

$\Leftrightarrow m^2 - 6m - 24 = 0(a = 1; b = -6; c = -24)$

$\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4(-24) = 132 > 0$

$\sqrt{\Delta} = 2\sqrt{33}$

$\Rightarrow$ Phương trình có $2$ nghiệm phân biệt

$m_1 = \dfrac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{6 + 2\sqrt{33}}{2} = 3 + \sqrt{33}(l)$

$m_2 = \dfrac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} =\dfrac{6 - 2\sqrt{33}}{2} = 3 - \sqrt{33}(n)$
Vậy với $m = 3 - \sqrt{33}$ thì phương trình có $2$ nghiệm phân biệt $x_1$, $x_2$ là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông có cạnh huyền bằng $5$