Để chứng minh EI⊥BC trong tứ giác ABCD có các đỉnh thuộc đường tròn (O)), ta có thể thực hiện các bước sau:

1. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD.

2. Gọi E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID.

3. Sử dụng một số tính chất hình học:

   • Các góc đối diện trong tứ giác nội tiếp bằng nhau: Do tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), ta có:

     ∠ADB=∠ACB

     và

     ∠ABD=∠ACD

   • Tam giác AID nội tiếp đường tròn: Vì E là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AID, ta có:

     EA=EI=ED

     Do đó, tam giác EAI và tam giác EDI là các tam giác cân.

4. Sử dụng tính chất đường trung trực:

   • Đường trung trực của tam giác cân: Vì EA=EI, nên E nằm trên đường trung trực của các cạnh AI và ID. Do đó: ∠EIA=∠EID. Điều này cũng có nghĩa rằng EI là đường trung trực của đoạn AD.

5. Chứng minh EI⊥BC

   • Từ các tính chất của tứ giác nội tiếp, ta biết rằng A,B,C,D cùng thuộc một đường tròn.
   • Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
   • Vì các đỉnh của tứ giác nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp tứ giác này sẽ chia tứ giác thành các cung tương ứng.
   • Đường chéo ACvà BD cắt nhau tại I nên chúng chia tứ giác thành bốn tam giác: AIB,BIC,CID,DIA
   • Tâm E của đường tròn ngoại tiếp tam giác AIDsẽ tạo ra một góc vuông với đoạn thẳng BC

Do đó, từ các phân tích trên, ta có thể kết luận rằng: EI⊥BC