Đáp án + Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{x^2 + x + m - 5}{x + 3}$

$= \dfrac{x^2 + x - 6 + m + 1}{x + 3}$

$= \dfrac{(x + 3)(x - 2) + m + 1}{x + 3}$

$= x - 2 + \dfrac{m + 1}{x + 3}$

Xét $x_1, x_2 \in (-3; +\infty)$ và $x_2 > x_1$, ta có:

$y(x_2) - y(x_1) = x_2 - 2 + \dfrac{m + 1}{x_2 + 3} - \bigg(x_1 - 2 + \dfrac{m + 1}{x_1 + 3}\bigg)$

$= x_2 - 2 + \dfrac{m + 1}{x_2 + 3} - x_1 + 2 - \dfrac{m + 1}{x_1 + 3}$

$= x_2 - x_1 + \dfrac{m + 1}{x_2 + 3} - \dfrac{m + 1}{x_1 + 3}$

$= x_2 - x_1 + \dfrac{(m + 1)(x_1 + 3) - (m + 1)(x_2 + 3)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)}$

$= x_2 - x_1 + \dfrac{(m + 1)(x_1 - x_2)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)}$

Ta có: $y$ đồng biến trên khoảng $(-3; +\infty)$

$\Leftrightarrow x_2 > x_1 \Rightarrow y(x_2) > y(x_1)$

$\Leftrightarrow y(x_2) - y(x_1) > 0$

$\Leftrightarrow x_2 - x_1 + \dfrac{(m + 1)(x_1 - x_2)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} > 0$

Mà $x_2 - x_1 > 0$

$\Leftrightarrow \dfrac{(m + 1)(x_1 - x_2)}{(x_2 + 3)(x_1 + 3)} > 0$

Mà $\begin {cases} x_1 - x_2 < 0 (x_2 > x_1) \\ (x_2 + 3)(x_1 + 3) > 0 (x_1, x_2 \in (-3; +\infty))\end {cases}$

$\Leftrightarrow m + 1 < 0$

$\Leftrightarrow m < -1$

Vậy với $m < -1$ thì hàm số $y = \dfrac{x^2 +x + m - 5}{x + 3}$ đồng biến trên khoảng $(-3; +\infty)$