Cho mẫu số liệu gồm 10 số dương không hoàn toàn giống nhau. Các số đo độ phân tán

a) Gọi các giá trị dương của mẫu số liệu ban đầu theo thứ tự từ bé đến lớn là: a; b; c; d; e; f; g; h; i; k.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là: $\overline{X}=\frac{a+b+c+d+e+f+g+h+i+k}{10}$

Phương sai: $s^2=\frac{{\left(a-\overline{X}\right)}^2+{\left(b-\overline{X}\right)}^2+{\left(c-\overline{X}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(k-\overline{X}\right)}^2}{10}$

Độ lệch chuẩn: $s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{{\left(a-\overline{X}\right)}^2+{\left(b-\overline{X}\right)}^2+{\left(c-\overline{X}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(k-\overline{X}\right)}^2}{10}}$

Giá trị lớn nhất là k, giá trị nhỏ nhất là a. Khi đó khoảng biến thiên: R = k – a.

Vì n = 10 nên trung vị là trung bình cộng hai giá trị chính giữa: $Q_2=\frac{e+f}{2}$

Nửa mẫu số liệu bên trái có tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=\frac{b+c}{2}$ 

Nửa mẫu số liệu bên phải có tứ phân vị thứ ba $Q_3=\frac{h+i}{2}$ là.

Khi đó khoảng tứ phân vị là: ${\Delta }_Q=Q_3-Q_1=\frac{h+i}{2}-\frac{b+c}{2}.$

Nhân mỗi giá trị của mẫu số liệu với 2 ta được dãy số liệu mới theo thứ tự từ bé đến lớn là: 2a; 2b; 2c; 2d; 2e; 2f; 2g; 2h; 2i; 2k.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là: $\overline{X\text{'}}=\frac{2a+2b+2c+2d+2e+2f+2g+2h+2i+2k}{10}=2\overline{X}$

Phương sai: $s{\text{'}}^2=\frac{{\left(2a-2\overline{X}\right)}^2+{\left(2b-2\overline{X}\right)}^2+{\left(2c-2\overline{X}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(2k-2\overline{X}\right)}^2}{10}=4s^2$

Độ lệch chuẩn: $s\text{'}=\sqrt{s{\text{'}}^2}=\sqrt{\frac{{\left(2a-2\overline{X}\right)}^2+{\left(2b-2\overline{X}\right)}^2+{\left(2c-2\overline{X}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(2k-2\overline{X}\right)}^2}{10}}=2s.$

Giá trị lớn nhất là k, giá trị nhỏ nhất là a. Khi đó khoảng biến thiên: R’ = 2k – 2a = 2R.

Ta có: tứ phân vị thứ nhất là$Q{\text{'}}_1=\frac{2b+2c}{2}=b+c=2Q_1$ và tứ phân vị thứ ba $Q{\text{'}}_3=\frac{2h+2i}{2}=h+i=2Q_3$ là. Khi đó khoảng tứ phân vị là: 

${\Delta }_{Q\text{'}}=Q{\text{'}}_3-Q{\text{'}}_1=2Q_3-2Q_1=2{\Delta }_Q.$

Vậy các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị của dãy số liệu mới bằng hai lần các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị ban đầu.

b)

Các giá trị dương của mẫu số liệu khi cộng thêm mẫu số liệu với 2 ta được: a + 2; b + 2; c + 2; d + 2; e + 2; f + 2; g + 2; h + 2; i + 2; k + 2.

Số trung bình cộng của mẫu số liệu là:

$\overline{X\text{'}}=\frac{2+a+2+b+2+c+2+d+2+e+2+f+2+g+2+h+2+i+2+k}{10}=\overline{X}+2$

Phương sai: $s{\text{'}}^2=\frac{{\left(a-\overline{X}\right)}^2+{\left(b-\overline{X}\right)}^2+{\left(c-\overline{X}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(k-\overline{X}\right)}^2}{10}=s^2$

Độ lệch chuẩn: $s\text{'}=\sqrt{s{\text{'}}^2}=\sqrt{\frac{{\left(a-\overline{X}\right)}^2+{\left(b-\overline{X}\right)}^2+{\left(c-\overline{X}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(k-\overline{X}\right)}^2}{10}}=s.$

Giá trị lớn nhất là k, giá trị nhỏ nhất là a. Khi đó khoảng biến thiên: R’ = 2 + k – (2 + a) = k – a = R.

Ta có: tứ phân vị thứ nhất là $Q{\text{'}}_1=\frac{2+b+2+c}{2}=b+c+2=Q_1+2$ và tứ phân vị thứ ba $Q{\text{'}}_3=\frac{2+h+2+i}{2}=h+i+2=Q_3+2$ là. Khi đó khoảng tứ phân vị là: ${\Delta }_{Q\text{'}}=Q{\text{'}}_3-Q{\text{'}}_1=Q_3+2-\left(Q_1+2\right)=Q_3-Q_1={\Delta }_Q.$

Vậy các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị của dãy số liệu mới bằng các khoảng biến thiên, độ lệch chuẩn, khoảng tứ phân vị ban đầu.