Đáp án:

a) Tứ giác AMDC là hình bình hành

b) Tứ giác AMBD là hình thoi

c) $S_{\triangle ABC}=6cm^2$

d) M, A, N thẳng hàng

e) Để AMBD là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

$DE//AC\,\,\,(\bot AB)$

D là trung điểm của BC (gt)

$\to$ DE là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ E là trung điểm của AB

$\to DE=\dfrac{1}{2}AC$

$\to DM=2DE=AC$

Xét tứ giác AMDC:

$DM//AC\,\,\,(DE//AC)$

$DM=AC$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AMDC là hình bình hành (2 cạnh đối song song và bằng nhau)

b)

Ta có:

$DE//AC, AB\bot AC\to DE\bot AB\\\to DM\bot AB$

Xét tứ giác AMBD:

E là trung điểm của AB (gt)

E là trung điểm của DM (gt)

$\to$ Tứ giác AMBD là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $DM\bot AB$ (cmt)

$\to$ Tứ giác AMBD là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

c)

$\triangle ABC$ vuông tại A, đường trung tuyến AD

$\to AD=BD=DC=\dfrac{BC}{2}\\\to BC=2AD=5(cm)$

Ta có:

$AB^2+AC^2=BC^2$ (định lý Pytago)

$\to AC=\sqrt{BC^2-AB^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4(cm)$

$\to S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC=\dfrac{1}{2}.3.4=6(cm^2)$

d)

Gọi F là giao điểm của DN và AC

N đối xứng với D qua AC (gt)

$\to$ F là trung điểm của DN, $AC\bot DN$ tại F

Xét $\triangle ABC$:

$DF//AB\,\,\,(\bot AC)$

D là trung điểm của BC (gt)

$\to$ DF là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to$ F là trung điểm của AC

Xét tứ giác ADCN:

F là trung điểm của DN (gt)

F là trung điểm của AC (cmt)

$\to$ Tứ giác ADCN là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

Mà $DN\bot AC$ (cmt)

$\to$ Tứ giác ADCN là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc)

$\to AN//DC\to AN//BC$ (1)

Lại có: Tứ giác AMDC là hình bình hành (cmt)

$\to AM//DC\to AM//BC$ (2)

Từ (1), (2) $\to$ M, A, N thẳng hàng (theo tiên đề Oclit)

e)

Tứ giác AMBD là hình thoi (cmt)

$\to$ Để tứ giác AMBD là hình vuông

$\to AD\bot DB\to AD\bot BC$

$\to$ AD là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của $\triangle ABC$

$\to\triangle ABC$ cân tại A

$\to$ Để AMBD là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A