Đáp án:

a)

Tứ giác AMIN là hình chữ nhật

Để AMIN là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

b) Tứ giác ADBI là hình thoi

c) $S_{\triangle AMN}=\dfrac{1}{4}S_{\triangle ABC}$

Giải thích các bước giải:

a)

Xét $\triangle ABC$:

M là trung điểm của AB (gt)

I là trung điểm của AC (gt)

$\to$ MI là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\to MI//AC, MI=\dfrac{1}{2}AC$

Mà $AB\bot AC$ (gt)

$\to MI\bot AB$

Chứng minh tương tự

$\to NI//AB, NI=\dfrac{1}{2}AB$

$\to NI\bot AC$

Xét tứ giác AMIN:

$\widehat{MAN}=90^o\,\,\,(AB\bot AC)\\\widehat{AMI}=90^o\,\,\,(MI\bot AB)\\\widehat{ANI}=90^o\,\,\,(NI\bot AC)$

$\to$ Tứ giác AMIN là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông)

Để tứ giác AMIN là hình vuông

$\to AM=AN\\\to \dfrac{1}{2}AB=\dfrac{1}{2}AC\\\to AB=AC$

$\to\triangle ABC$ cân tại A

$\to$ Để AMIN là hình vuông thì $\triangle ABC$ cần thêm điều kiện là tam giác cân tại A

b)

Xét tứ giác ADBI:

M là trung điểm AB (gt)

M là trung điểm của DI (gt)

$\to$ Tứ giác ADBI là hình bình hành (2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Mà $DI\bot AB\,\,\,(MI\bot AB)$

$\to$ Tứ giác ADBI là hình thoi (hình bình hành có 2 đường chéo vuông góc với nhau)

c)

$\triangle ABC$ vuông tại A

$\to S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}.AB.AC$

$\triangle MAN$ vuông tại A

$\to S_{\triangle MAN}=\dfrac{1}{2}.AM.AN$

Mà $AM=\dfrac{1}{2}AB, AN=\dfrac{1}{2}AC$

$\to S_{\triangle MAN}=\dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{2}AB.\dfrac{1}{2}AC\\\hspace{2.2cm}=\dfrac{1}{4}.\dfrac{1}{2}.AB.AC\\\hspace{2.2cm}=\dfrac{1}{4}S_{\triangle ABC}$