a) Vì tam giác ABC cân tại A => góc ABD=góc ACB mà góc ACB=góc NEC(đối đỉnh)

=> góc ABD=góc NEC

Xét tam giác BDM và tam giác CEN có:

góc ABD=góc NEC

BD=CE

góc BDM=góc CEN=90 độ

=> tam giác BDM = tam giác CEN (g-c-g)

=> MD=NE

b)Vì MD vuông góc BE, NE vuông góc BE

=> MD song song BE

=> góc DMI= góc ENI (so le trong)

Xét tam giác MDI, tam giác NEI có:

góc DMI= góc ENI

MD=NE

góc MDI= góc NEI=90độ

=> tam giác MDI=tam giác NEI (g-c-g)

=> DI=IE, mà D, I, E thẳng hàng

=> I là trung điểm của DE

c) 

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ACO vuông tại C ta được:

 OA$^{2}$=OC$^{2}$ +AC$^{2}$ (1)

Áp dụng định lí Pytago vào tam giác ABO vuông tại B ta được:

 OA$^{2}$= OB$^{2}$+AB$^{2}$(2)

Vì AB= AC và OA chung nên từ (1) và (2)

=>  OB$^{2}$=OC$^{2}$ <=> OB=OC

Xét tam giác ABO, tam giác ACO có:

góc ABO=góc ACO=90độ

OA chung

OB=OC

=>tam giác ABO= tam giác ACO(ch-cgv)

=> góc BAO=góc CAO

=> AO là phân giác của góc BAC

mà tam giác ABC cân tại A

=> AO đồng thời là đường trung trực của BC.