a.

Xét tam giác `ABM` và tam giác `CDN` có:

`AB = CD` (tính chất hình bình hành)

`AM = CN = 1/2AD = 1/2BC`

`hat (MAB) = hat (DCN)` (tính chất hình bình hành)

`=> ΔABM = ΔCDN (c.g.c)`

`=> hat (ABM) = hat(NDC)`

Mà `hat (ABD) = hat (BDC) (slt)`

`=> hat (ABD) - hat(ABM) = hat(BDC) - hat(NDC)`

Hay `hat (MBD) = hat(BDC)`

Mà hai góc này lại ở vị trí so le trong

`=> BM//// DN`

b.

Ta có:

`F` là trọng tâm của tam giác `BDC`

`E` là trọng tâm của tam giác `ABD`

`=> AE = 2/3AO`

`CF = 2/3 OC`

`=> AE = CF` (vì `AO = OC`)

`=> EO = 1/3AO`

`OF = 1/3OC`

Mà `AO = OC` (tính chất hình bình hành)

`=> EO + OF = 2*1/3AO`

Hay `EF = 2/3AO`

`=> AE = EF = FC = 2/3AO = 2/3OC`

c.

Vì  `EO = 1/3AO`

`OF = 1/3OC`

`=> EO = OF` (vì `AO = OC`)

Xét tam giác `DBA` có `M` là trung điểm `AD`

`O` là trung điểm `BD`

`=> MO` là đường trung bình của tam giác `DBA`

`=> MO //// AB, \qquad MO =1/2AB`

Tương tự `ON` là đường trung bình của tam giác `BDC`

`=> ON //// DC, \qquad ON = 1/2DC`

`=> MO = ON` (vì `AB = DC`)

Hay `MN` cắt `EF` lại trung điểm `O` của hai đoạn thẳng

`=> MENF` là hình bình hành

d.

Để hình bình hành `MENF` thành hình chữ nhật thì hai đường chéo phải bằng nhau

Hay `MN = EF`

Mà `EF = 2/3AO`

Mặt khác `AO =1/2AC`

`=> EF = 1/3AC \qquad \qquad \qquad \qquad (1)`

Ta có `M` là trung điểm `AD`

`N` là trung điểm `BC`

`=> MN` là đường trung bình của hình bình hành `ABCD`

`=> MN = (AB+CD)/2 = (2*AB)/2 = (2*CD)/2`

`=> MN = AB = CD \qquad \qquad \qquad \qquad (2)`

Từ 1 và 2 suy ra `AB = CD = 1/3AC` thì hình bình hành MENF trở thành hình chữ nhật