Nối AC, BD

+ Xét ΔABD có
M, Q lần lượt là trung điểm của AB; AD
=>MQ là đường trung bình của ΔABD

=> MQ // BD; MQ =BD:2 (1)

+ Xét ΔCBD có
N, P lần lượt là trung điểm của BC; CD
=> NP là đường trung bình của ΔCBD.

=> NP//BD; NP =BD:2 (2)

Từ (1),(2) => MQ // NP; MQ = NP
=> MNPQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

+ Để hình bình hành MNPQ là hình chữ nhật thì MQP= 90 hay MQ ⊥ QP

Lại có QP // AC (do QP là đường trung bình của ΔDAC)
=> MQ ⊥ AC mà MQ // BD (cmt)=> AC ⊥ BD

Vậy tứ giác ABCD cần có AC ⊥ BD thì MNPQ là hình chữ nhật.

$\\$

`MNPQ` là hình chữ nhật 

`=> MQ\bot QP (hat{MQP}=90^o)`

`\triangle ADC` có :

`Q,P` là trung điểm của `AD,CD` (gt)

`=>QP` là đường trung bình của `\triangle ADC`

`=>` $QP//AC$

Mà `QP\bot MQ` (cmt)

`=>AC\bot MQ`

`\triangle ABD` có :

`Q,M` là trung điểm của `AD,AB` (gt)

`=>MQ` là đường trung bình của `\triangle ABD`

`=>` $MQ//BD$

Mà `AC\bot MQ`

`=> BD\bot AC`

Vậy tứ giác `ABCD` cần `BD\bot AC` để `MNPQ` là hình chữ nhật