Đáp án:

\( \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3 + \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ 2 \right\}\).

Giải thích các bước giải:

\(2{x^2} + 2\left( {m + 1} \right)x + {m^2} + 4m + 3 = 0\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}\Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - 2\left( {{m^2} + 4m + 3} \right)\\\,\,\,\,\,\, = {m^2} + 2m + 1 - 2{m^2} - 8m - 6\\\,\,\,\,\,\, =  - {m^2} - 6m - 5\end{array}\)

Để phương trình có nghiệm

\( \Rightarrow \Delta  \ge 0 \Leftrightarrow  - {m^2} - 6m - 5 \ge 0 \Leftrightarrow  - 5 \le m \le  - 1\).

TH1: \(m =  - 5 \Rightarrow \) Phương trình trở thành \(2{x^2} - 8x + 8 = 0 \Leftrightarrow x = 2\).

\( \Rightarrow \) Thỏa mãn.

TH2: \(m =  - 1 \Rightarrow \)   Phương trình trở thành \(2{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\).

\( \Rightarrow \) Loại.

TH3: \( - 5 < m <  - 1 \Rightarrow \) Phương trình có hai nghiệm phân biệt, giả sử là \({x_1} < {x_2}\). Khi đó áp dụng định lí Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \left( {m + 1} \right)\\{x_1}{x_2} = \frac{{{m^2} + 4m + 3}}{2}\end{array} \right.\).

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_1} < 1 \le {x_2}\,\,\,\left( 1 \right)\\1 \le {x_1} < {x_2}\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\).

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \le 0\\ \Leftrightarrow \frac{{{m^2} + 4m + 3}}{2} + \left( {m + 1} \right) + 1 \le 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4m + 3 + 2m + 2 + 2 \le 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 6m + 7 \le 0 \Leftrightarrow  - 3 - \sqrt 2  \le m \le  - 3 + \sqrt 2 \end{array}\)

\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} > 2\\\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - m - 1 > 2\\{x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) + 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m <  - 3\\\left[ \begin{array}{l}m \ge  - 3 + \sqrt 2 \\m \le  - 3 - \sqrt 2 \end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow m \le  - 3 - \sqrt 2 \).

\( \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3 + \sqrt 2 } \right)\).

Kết hợp 3 TH   \( \Rightarrow m \in \left( { - \infty ; - 3 + \sqrt 2 } \right) \cup \left\{ 2 \right\}\).

Giải thích các bước giải:

-Tìm điều kiện của m để phương trình có  nghiệm 

  Δ'≥0

- TH1: Nếu cả 2 nghiệm đều lớn hơn 1 thì:

\[\left\{ \begin{array}{l}
{x_1} + {x_2} \ge 2\\
\left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \ge 0
\end{array} \right.\]

- TH2: Chỉ có 1 nghiệm lớn hơn 1, nghiệm còn lại nhỏ hơn 1

\[ \Rightarrow \left( {{x_1} - 1} \right)\left( {{x_2} - 1} \right) \le 0\]

Áp dụng định lí Vi-et để giải các phương trình và hệ pt trên

Kiểm tra lại nghiệm của m