Gửi bạn:

$a,$ Xét $ΔEMA$ và $ΔBMC$ có:

$AM=MC$ ($AMCD$ là hình vuông)

$ME=MB$  ($BMEF$ là hình vuông)

$\widehat{EMA}=\widehat{BMC}=90^o$

$⇒$ $ΔEMA=ΔBMC(cgv-cgv)$

$\widehat{EAM}=\widehat{CBM}$

Mà: $\widehat{AEM}+\widehat{EAM}=90^o$

$⇒$ $\widehat{EAM}+\widehat{CBM}=90^o$

$⇒$ $\widehat{HAB}=90^o$

$⇒$ $AE⊥BC$ tại $H$ (Vì $AE$ giao $BC$ tại $H$)

$b,$ Gọi: $DM∩AC=O$

$BE∩MF=I$

$⇒$ $OD=OC=OA=OM$

$IE=IB=IM=IF$

Tiếp: xem hình $1$ 

$tr/t$: trung tuyến

$c,$ Xem hình: $2,3$

$\\$

`a,`

`ABCD` là hình vuông

`->AD=CD=CM=AM` 

`MD,AC` là tia phân giác `hat{DAM},hat{CMA}`

`hat{ADC}=hat{DCM}=hat{CMA}=hat{DAM}=90^o`

`DM\bot AC,DM=AC`

`MEFB` là hình vuông

`->ME=EF=BF=BM`

`BE,MF` là tia phân giác `hat{FBM},hat{EMB}`

`MF\bot BE,MF=BE`

`hat{MEF}=hat{EFB}=hat{FBM}=hat{EMB}=90^o`

`hat{DMA}=1/2hat{CMA}=1/2 .90^o=45^o`

`hat{EBM}=1/2 hat{FBM}=1/2 . 90^o = 45^o`

`->hat{DMA}=hat{EBM}`

`->` $EB//DM$ mà $DM\bot AC$

`->BE\bot AC`

`\triangle ABC` có :

`BE` là đường cao, `CM` là đường cao, `E=BE∩CM`

`-> E` là trực tâm

`->AE` là đường cao tức `AE\bot BC`

`b,`

Gọi `K=BE∩MF, V=AC∩DM`

`->K` là trung điểm của `BE,MF` và `V` là trung điểm của `AC,DM`

`\triangle EHB` vuông tại `H` có : `HK` là đường trung tuyến

`->HK=1/2 BE=1/2 MF`

`\triangle MHF` có : `HK` là đường trung tuyến, `HK=1/2 MF`

`->\triangle MHF` vuông tại `H`

`->hat{MHF}=90^o`

`\triangle AHC` vuông tại `H` có `HV` là đường trung tuyến

`->HV=1/2 AC=1/2 DM`

`\triangle MHD` có : `HV=1/2 DM,HV` là đường trung tuyến

`->\triangle MHD` vuông tại `H`

`->hat{MHD}=90^o`

`hat{MHF}+hat{MHD}=90^o + 90^o = 180^o`

`->hat{DHF}=180^o`

`->D,H,F` thẳng hàng

`c,`

Gọi `DF∩AC=L`

`->DF` đi qua `L` (1)

Từ `L` kẻ `LN\bot AB`

`hat{CAM}=1/2hat{DAM}=1/2 . 90^o=45^o`

`hat{FMB}=1/2hat{EMB}=1/2 . 90^o=45^o`

`->hat{CAM}=hat{FMB}=45^o`

`->` $AC//MF$ hay $VL//MF$

`\triangle DMF` có :

`V` là trung điểm của `DM` và $VL//MF$

`->L` là trung điểm của `DF`

Dễ dàng c/m được $DA//LN//BF$

Dễ dàng c/m được `\triangle ADM` cân tại `A` và `\triangle MBF` cân tại `B`

Hình thang $ADFB$ có :

$L$ là trung điểm của $DF, AD//LN//FB$

`-> N` là trung điểm của `AB`

Hifnh thang `ADFB` có :

`L,N` là trung điểm của `DF,AB`

`->LN` là đường trung bình

`->LN=(AD+BF)/2=(AM + MB)/2 = (AB)/2`

Do `AB` luôn cố định

`->L` luôn cố định khi `M` di chuyển trên `AB` (2)

(1)(2) `-> DF` luôn đi qua một điểm cố định khi `M` di chuyển trên `AB`