1) Do $\overline{71x1y}$ chia hết cho 45 nên nó chia hết cho 9 và 5.

Do số trên chia hết cho 5 nên $y = 0$ hoặc $y = 5$.

TH1: $y = 0$

Khi đó số $\overline{71x10}$ chia hết cho 9.

Vậy 7 + 1 + x + 1 chia hết cho 9 hay x + 9 chia hết cho 9.

Vậy $x = 0$ hoặc $x = 9$.

TH2: $y = 5$

Vậy $7 + 1 + x + 1 + 5$ chia hết cho 9 hay $14 + x $ chia hết cho 9.

Vậy $x = 4$.

Do đó có các cặp số là $(0,0), (9,0), (4,5)$.

2. Để cminh một số chia hết cho 72, ta cminh nó chia hết cho 9 và 8.

Ta có

$10^{28} + 8 = 10...08$

có tổng các chữ số bằng 9, do đó chia hết cho 9.

Mặt khác, ta có

$10^{28} + 8 = 10^3 . 10^{25} + 8$

$= (2.5)^3 . 10^{25} + 8$

$= 2^3. 5^3 . 10^{25} + 8$

$= 8 . 5^3 . 10^{25} + 8$

$= 8(5^3 . 10^{25} + 1)$

Vậy số đã cho chia hết cho 8.

Do nó vừa chia hết cho 8, vừa chia hết cho 9 nên nó chia hết cho 72.

4) Ta có

$A = 2 + 2^2 + \cdots + 2^{60}$

$= 2(1 + 2) + 2^3(1 + 2) + \cdots + 2^{59} (1 + 2)$

$= 3.2 + 3.2^3 + \cdots + 2^{59} . 3$

$= 3(2 + 2^3 + \cdots + 2^{59})$

Vậy A chia hết cho 3.

Lại có

$A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 +\cdots +2^{58} + 2^{59} + 2^{60}$

$= 2(1 + 2 + 2^2) + 2^4(1 + 2 + 2^2) + \cdots + 2^{58} (1 + 2 + 2^2)$

$= 2.7 + 2^4 . 7 + \cdots + 2^{58} . 7$

$= 7(2 + 2^4 + \cdots + 2^{58})$

Vậy A chia hết cho 7

Mặt khác

$A = 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + 2^5 + 2^6 + 2^7 + 2^8 + \cdots + 2^{57} + 2^{58} + 2^{59} + 2^{60}$

$= 2(1 + 2 + 2^2 + 2^3) + 2^5(1 + 2 + 2^2 + 2^3) + \cdots + 2^{57}(1 + 2 + 2^2 + 2^3)$

$= 2.15 + 2^5.15 + \cdots + 2^{57} . 15$

$= 15(2 + 2^5 + \cdots + 2^{57})$

Vây A chia hết cho 15.