Lời giải:

a) Ta có:

$MK\perp AC$

$AB\perp AC$

$\Rightarrow MK//AB$

mà $BM = MC = \dfrac12BC$

nên $AK = KC= \dfrac12AC$

hay $K$ là trung điểm $AC$

b) Ta có:

$MK\perp AC\Rightarrow \widehat{K} =90^\circ$

$MH\perp AB\Rightarrow \widehat{H} =90^\circ$

Xét tứ giác $AKMH$ có:

$\widehat{A} = \widehat{K} = \widehat{H}  =90^\circ$

Do đó $AKMH$ là hình chữ nhật

c) Ta có:

$MH//AC\quad (\perp AB)$

$BM = MC = \dfrac12BC$

$\Rightarrow AH = HB= \dfrac12AB$

$\Rightarrow MH$ là đường trung bình của $\triangle ABC$

$\Rightarrow \begin{cases}MH = \dfrac12AC\\MH//AC\end{cases}$

Lại có: $AK = KC = \dfrac12AC$ (câu a)

$\Rightarrow MH = KC$

Xét tứ giác $HMCK$ có:

$MH=CK$

$MH//CK\quad (MH//AC;\ K\in AC)$

Do đó $HMCK$ là hình bình hành

d) Ta có:

$N$ đối xứng $M$ qua $K$

$\Rightarrow MK = KN = \dfrac12MN$

Xét tứ giác $AMCN$ có:

$ MK = KN = \dfrac12MN$

$AK = KC = \dfrac12AC$

$\Rightarrow AMCN$ là hình bình hành

Lại có: $MN\perp AC\quad (MK\perp AC)$

Do đó $AMCN$ là hình thoi

$\\$

`a,`

`MK\bot AC,AB\bot AC`

`->` $MK//AB$

`\triangle ABC` có :

`M` là trung điểm của `BC` và $MK//AB$

`->K` là trung điểm của `AC`

`b,`

`MH\bot AB->hat{AHM}=90^o`

`MK\bot AC->hat{AKM}=90^o`

Tứ giác `AHMK` có :

`hat{HAK}=90^o,hat{AHM}=90^o,hat{AKM}=90^o`

`->AHMK` là hình chữ nhật

`c,`

`AHMK` là hình chữ nhật

`->` $HM//AK$ và `HM=AK`

$HM//AK$ hay $HM//CK$

`HM=AK, AK=CK`

`-> HM=CK`

Tứ giác `HMCK` có :

$HM//CK, HM=CK$

`-> HMCK` là hình bình hành

`d,`

`N` đối xứng `M` qua `K`

`->K` là trung điểm của `MN`

`MK\bot AC` hay `MN\bot AC`

Tứ giác `AMCN` có :

`K` là tung điểm của `MN,AC`

`->AMCN` là hình bình hành mà `MN\bot AC`

`->AMCN` là hình thoi