a) Ta có :

`+)DM⊥AB` ( do `M` là hình chiếu của `D` trên `AB` )

`⇒\hat{DMA}=90^0`

`+)DN⊥AC` ( do `N` là hình chiếu của `D` trên `AC` )

`⇒\hat{DNA}=90^0`

`+)ΔABC` vuông tại `A`

`⇒\hat{MAN}=90^0`

*) Từ `3` điều trên ⇒ Tứ giác `AMDN` là hình chữ nhật

*) Theo đề bài ta có `AD` là phân giác `\hat{MAN}`

mà `AD` là đường chéo của hình chữ nhật `AMDN `

⇒Tứ giác `AMDN` là hình vuông

*) Vì tứ giác `AMDN` là hình vuông

`⇒MD`//`AN`

`⇒ME`//`AN`

`⇒(BE)/(BN)=(BM)/(AB)=(ME)/(AN)` (1)

*) Vì tứ giác `AMDN` là hình vuông

`⇒DN`//`MA`

`⇒DN`//`AB`

`⇒(DN)/(AB)=(CD)/(CB)=(CN)/(AC)` (2)

*) Vì tứ giác `AMDN` là hình vuông

`⇒DN`//`MA`

`⇒DF`//`BM`

`⇒(DF)/(BM)=(CD)/(CB)=(CF)/(CM)` (3)

*) Từ `(2)` và `(3) `

`⇒ (DN)/(AB) = (DF)/(BM)`

`⇒(BM)/(AB)=(DF)/(DN)` (4)

*) Từ `(1)` và `(4) `

`⇒(DF)/(DN)=(BE)/(BN)`

`⇒EF`//`BD` (hệ quả Ta-lét)

`⇒EF`//`BC`

b) 

*) Gọi giao của `AF` và `BN` là `I` ; `AE` và `CM` là `O`

*) Vì tứ giác `AMDN` là hình vuông

`⇒DN`//`MA`

`⇒FN`//`MA`

`⇒(FN)/(MA)=(CF)/(CM)=(CN)/(CA) `

mà `(DN)/(AB)=(CN)/(AC)` (từ `(2)`)

`⇒(FN)/(MA)=(DN)/(AB)`

`⇒(FN)/(DN)=(MA)/(AB)`

mà `DN=AN=AM` (do tứ giác `AMDN` là hình vuông)

`⇒(FN)/(AN)=(AN)/(AB)`

*) Xét `ΔANB` và `ΔNFA`

`+) (FN)/(AN)=(AN)/(AB) (cmt)`

`+) \hat{BAN}=\hat{ANF}(=90^0)`

`⇒ΔANB ~ ΔNFA (cgc) (đpcm)`

`⇒ \hat{ABN}= \hat{NAF}`

mà `\hat{ABN}+ \hat{BNA}=90^0 `

`⇒ \hat{NAF}+ \hat{BNA}=90^0`

`⇒ \hat{AIN}=90^0`

`⇒AF⊥BN`

`⇒EI⊥AF` (5)

*)Cmtt với `ΔAME ~ ΔCAM` và `FO⊥AE` (6)

*) Ta có : `BN` giao `CM` tại `H`

`⇒EI` giao `FO` tại `H`

mà ta có `(5)` và `(6)`

`⇒H` là trực tâm `ΔAEF`